物理

[论坛资料室][自由基的学术论坛]关于FVM方法的一点小想法和问题

中考结束了，可以好好玩两天，就把最近的一点小想法拿出来看一看。比较民科，被辣到眼睛了请轻喷。

有限体积法（$\text{FVM}$）是计算流体力学（$\text{CFD}$）中的重要方法之一。我在$\text{FVM}$上做了一些微调和改进。

考虑一个三维紧致闭合流形$M \subset \mathbb{R}^4$，那么不可压缩$\text{Navier-Stokes}$方程在$M$上表述为：

$$\begin{cases}\partial_tu+ \nabla_uu= \nu \Delta_{\text{H}}u-\nabla p+f \\\operatorname{div}u=0 \\u|_{t=0}=u_0 \end{cases}$$

其中$u\in\Gamma(TM)=\mathfrak{X}(M)$是速度场，切向量场；$p$是压力场，标量场；$\nu$是动力粘性系数，正常数；$f$是外力场，矢量场；$\Delta_{\text{H}}$是$\text{Hodge-Laplace}$算子；$\nabla_u$是协变导数。

在流形体素化那个帖子里，我们将流形进行嵌入，并用方体覆盖（这就是$\text{FVM}$的第一步），然后通过$\text{Hausdorff}$距离理论得出当$\epsilon\to0$时$\mathcal{Q}(\epsilon)\to\overline{M}=M$。那么我们构建一个由全体方体的中点构成的点集

$$\mathcal{P}(\epsilon) = \{p_i=\epsilon k_i\mid k_i \in\mathbb{Z}^4,M\cap Q(\epsilon, k_i) \neq\varnothing\}, $$

传统意义上说，$\text{FVM}$的主要思路是：对于某一个控制体积（用人话说，一个体积有限的闭合区域。我们的$Q(k)\cap M$就是一种控制体积）$\mathcal{V}$以及某个偏微分方程（多半是某个流体力学方程，表述为在某三维底空间$X$和某时间空间$[0,T]$的乘积$X\times[0,T]$上，关于$\nabla$和$\partial_t$的一个方程。我们以下面的方程为例）：

$$\frac{\partial u}{\partial t}+\operatorname{div}u=0$$

$\text{FVM}$的思路是，对等式两边积分，并利用积分和偏导数的对易性，以及某些积分定理（比如在这里使用散度定理）化简：

$$\frac{d}{dt}\int_{\mathcal{V}}u+\oint_{\partial\mathcal{V}}u\cdot\hat{n}=0$$

然后再用差分和数值积分来计算离散解。

我的想法是，把$\text{FVM}$应用到流形上去，然后考虑流形上的不可压缩$\text{Navier-Stokes}$方程。

因为我的想法是用离散系统逼近连续系统，来得到连续解的存在性，正则性和估计，所以我们没必要差分和数值，但主要目的就放在了如何离散系统，并能在$\epsilon\to0$时完美地逼近原系统。这里以第二个方程为例：

$$\operatorname{div}u=0$$

在$Q(k)\cap M$上积分：

$$\int_{Q(k_i)\cap M}\operatorname{div}u=0$$

那么我们不难推导出

其中$\overset{2}{\mu}$是一个二维测度，而$\hat{n}_{ij}$是$Q(k_i)$指向$Q(k_j)$的法矢。最终取平均就得到

那么$(\operatorname{div}_\epsilon u)_i=0$对于$\forall i$。这样就得到方程的一个半离散形式。$\sum_i(\operatorname{div}_\epsilon u)_i$应该是收敛到$\operatorname{div} u$的，我还没有验证。其他项也是差不多的方法处理，我没算，欢迎大家一起来算。

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