物理

[TINY NSD]从实数到复数

$\huge{第一部分~新手篇}$

第一节 复数的定义

大凡对复数有一些了解的人，不管是学校学的，书上翻的，老师讲的，网上看的，$\sout{orange那边过来的}$，都应该知道，我们为了解决方程${x^2=-1}$没有实数解的问题，引入了虚数单位${i}$

我们规定，虚数单位${i}$满足${i^2=-1}$，并称形如${z=x+yi(x, y \in \mathbb{R})}$的数为复数。

一般来讲，复数不能比较大小，除非两个复数都是实数

第二节 复数的代数表示

上面对于复数的记法，我们称为复数的代数表示

我们称${x为z的实部，记作x=Re~z；y为z的虚部，记作y=Im~z}$

划重点：虚部是一个实数！

${若x=0, y \ne 0，则称z为纯虚数；若y=0，则z为实数}$

两复数相等当且仅当实部和虚部分别相等

第三节 共轭复数及其性质

我们称复数${x-yi为复数z=x+yi的共轭复数，记作\overline{z}}$

下面是共轭复数的几个性质：

1.${\overline{z}=z当且仅当z \in \mathbb{R}}$；

2.${\overline{\overline{z}}=z}$

3.${\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2}, \overline{z_1z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}}$

4.${z \cdot \overline{z}=(Re~z)^2+(Im~z)^2}$

5.${z+\overline{z}=2Re~z, z-\overline{z}=2iIm~z}$

第四节 复数的四则运算

$\huge{第二部分~基础篇}$

第五节 复数的三角表示

第六节 三角表示下复数的运算

第七节 复球面、有限复平面与扩充复平面

第八节 点集、区域与曲线

第九节 复变函数的概念

第十节 象点、原象与反函数

第十一节 指数函数与复数的指数表示

第十二节 对数函数和幂函数

第十三节 （反）三角函数与（反）双曲函数

$\huge{第三部分~进阶篇}$

第十四节 极限与连续

第十五节 导数、微分与解析函数的定义

第十六节 导数的四则运算法则

第十七节 Cauchy-Riemann方程

第十八节 有向曲线与复积分的定义

第十九节 由参数方程求复积分

第二十节 复积分的性质

第二十一节 Cauchy-Goursat基本定理

第二十二节 闭路变形定理与复合闭路定理

第二十三节 不定积分

第二十四节 Cauchy积分公式及其推广

$\huge{第四部分~专业篇}$

第二十五节 调和函数与共轭调和函数

第二十六节 解析函数与调和函数的关系

第二十七节 复数列的极限

第二十八节 复数项无穷级数的敛散性

第二十九节 复变函数项无穷级数

第三十节 幂级数与收敛圆

第三十一节 Taylor展开

第三十二节 双边幂级数与Laurent展开

第三十三节 扩充复平面上的孤立奇点

第三十四节 解析函数零点与孤立奇点的关系

第三十五节 留数定理

第三十六节 留数计算法则

第三十七节 部分函数定积分的计算方法