物理

[TINY NSD]从实数到复数

$\huge{第一部分~新手篇}$

第一节 复数的定义

大凡对复数有一些了解的人，不管是学校学的，书上翻的，老师讲的，网上看的，$\sout{orange那边过来的}$，都应该知道，我们为了解决方程${x^2=-1}$没有实数解的问题，引入了虚数单位${i}$

我们规定，虚数单位${i}$满足${i^2=-1}$，并称形如${z=x+yi(x, y \in \mathbb{R})}$的数为复数。

一般来讲，复数不能比较大小，除非两个复数都是实数

第二节 复数的代数表示

上面对于复数的记法，我们称为复数的代数表示

我们称${x为z的实部，记作x=\operatorname{Re}~z；y为z的虚部，记作y=\operatorname{Im}~z}$

划重点：虚部是一个实数！

${若x=0, y \ne 0，则称z为纯虚数；若y=0，则z为实数}$

两复数相等当且仅当实部和虚部分别相等

第三节 共轭复数及其性质

我们称复数${x-yi为复数z=x+yi的共轭复数，记作\overline{z}}$

下面是共轭复数的几个性质：

1.${\overline{z}=z当且仅当z \in \mathbb{R}}$；

2.${\overline{\overline{z}}=z}$

3.${\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2}, \overline{z_1z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}}$

4.${z \cdot \overline{z}=(\operatorname{Re}~z)^2+(\operatorname{Im}~z)^2}$

5.${z+\overline{z}=2\operatorname{Re}~z, z-\overline{z}=2i\operatorname{Im}~z}$

第四节 复数的四则运算

加减法：${(x_1+y_1i) \pm (x_2+y_2i)=(x_1 \pm x_2)+(y_1 \pm y_2)i}$

乘法：${(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i}$（始终牢记${i^2=-1}$）

除法：${\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{x_2^2+y_2^2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}i}$

（牢记共轭复数的性质4）

$\huge{第二部分~基础篇}$

第五节 复数的三角表示

让我们再回顾一下第四节中乘除法的表达式，可以看到，它们与正余弦公式有很大的相似之处

于是我们大胆猜想：能否用三角函数表示复数？

首先，引入一个新的概念

我们称${\sqrt{(\operatorname{Im}~z)^2+(\operatorname{Re}~z)^2}}$为复数${z}$的模长，记作${|z|=\sqrt{(\operatorname{Im}~z)^2+(\operatorname{Re}~z)^2}}$，

由共轭复数的性质，显然${z \overline{z}=|z|^2}$

由定义，${若z \ne 0，则(\frac{\operatorname{Re}~z}{|z|})^2+(\frac{\operatorname{Im}~z}{|z|})^2=1}$

所以我们可以找到角${\theta}$，使得${\cos \theta= \frac{\operatorname{Re}~z}{|z|}，\sin \theta= \frac{\operatorname{Im}~z}{|z|}}$，

我们称这样的${\theta}$为${z}$的辐角，记为${\operatorname{Arg}~z}$

由三角函数的周期性，每个非零复数都有无穷多个辐角，其中有且仅有一个在集合${(-\pi, \pi]}$中

我们称其为${z的辐角主值，记为\arg~z}$

（是的，${\operatorname{Arg}和\arg就是只差首字母的大小写}$）

记${|z|=r，那么我们得到复数的三角表示：}$

${z=r(\cos \theta+i\sin \theta)（r, \theta \in \mathbb{R}，r \ge 0）}$

显然，当${z=0时，r=0，辐角不确定}$，这样就完善了定义

第六节 三角表示下复数的运算

让我们说回到为什么要采用三角表示。首先，加减法的计算没有简化，反而略微复杂了一点：

${r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1) \pm r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)=(r_1\cos\theta_1 \pm r_2\cos\theta_2)+(r_1\sin\theta_1 \pm r_2\sin\theta_2)i}$

（其实是先化为代数表示再计算）

然后看到乘法：

${[r_1(\cos \theta_1+i\sin \theta_1)]\cdot[r_2(\cos \theta_2+i\sin \theta_2)]=r_1r_2[(\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2)+i(\sin \theta_1 \cos \theta_2+\cos \theta_1 \sin \theta_2)]}$

${=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]}$

除法过程类似，不再详细推导，结果为

${\frac{r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)}{r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]}$

这样的结果显然比代数表示下简洁

同时，由这一结果，我们很显然能得到著名的De Moivre定理，此处不再赘述

由这一结果，可以在接下来的内容中说明复数指数表示的合理性

可以将三角表示视为连接代数表示和接下来要讲到的指数表示的桥梁

以上六节内容都属于高中课内范围，接下来，我们再往前一步

第七节 复球面、有限复平面与扩充复平面

我们知道，平面上的任意一点，可以用直角坐标${(x,y)或极坐标(r, \theta)}$表示

所以我们发现，复数可以与平面上的点一一对应，我们称这样的平面为复平面

很好理解对吧？然而接下来的内容就不太好理解了

作与复平面在原点相切的球面，称原点为其南极，与之相对的一端为北极

对于球面上除了北极外的任何一点，其与北极的连线所在直线和复平面都有且仅有一个交点

反过来，复平面上的一个点与北极的连线也与球面有且只有一个交点（北极除外）

所以我们建立了复平面和这个球面上除北极之外的点的一一对应

所以每个复数都能与球面上除了北极外的一点对应，我们管这样的球面叫做复球面

那么北极点怎么办？在前面的关系中，它无法与平面上任何一点相对应

于是我们祭出了大杀器：我们认为复平面上还有一个点，叫无穷远点，对应复球面的北极

然而复平面上的每个点都对应一个复数，无穷远点该对应什么复数呢？

我们称为“复数无穷大”，记为${\infty}$

为了表示与原先的复平面的区别，我们称含无穷远点的复平面为扩充复平面，而称不含无穷远点的复平面为有限复平面

复数无穷大没有实部、虚部和辐角，其模长为实数正无穷大${+\infty}$，并且仅允许其进行如下运算：

（以下${a \in \mathbb{C}}$）

1. ${a \pm \infty = \infty \pm a= \infty( a \ne \infty)}$；

2.${a \cdot \infty = \infty \cdot a=\infty(a \ne 0)}$

3.${\frac{a}{\infty}=0(a \ne \infty)，\frac{\infty}{a}=\infty(a \ne \infty), \frac{a}{0}=\infty(a \ne 0)}$

除了上述内容之外，所有涉及复数无穷大的运算都是无意义的

第八节 点集、区域与曲线

由于在前面的内容中，我们把复数与复平面上的点一一对应起来，所以接下来我们可以利用复数来定义一些常用的点集

首先，在实变函数中就已经有邻域和去心邻域的概念，我们将其拓展至复数：

以${z_0为圆心，任意正数\delta为半径的圆内部成为z_0的\delta邻域，记为N(z_0, \delta)=}$ {${z||z-z_0| \lt \delta}$}

如果在邻域中去掉${z_0}$，就成为了${z_0}$的去心邻域，记为${N^\circ(z_0, \delta)=}$ {${z|0 \lt |z-z_0| \lt \delta}$}

在扩充复平面上，我们认为无穷远点的邻域为{${z||z| \gt M, M \in \mathbb{R}且M \gt 0}$}

邻域的概念非常重要，影响了接下来很多重要的定义

比如，在实数集中，我们很好定义区间的开闭，但在复平面上呢？

我们先引入内点和聚点的定义：

若点集${D}$中一点${z}$满足${\exists \delta, N(z,\delta) \subseteq D, 则称z为D的内点}$

${若点集D中一点z满足\forall \delta \gt 0, N(z, \delta)中有无穷多个属于D的点，则称z为D的聚点}$

利用这两个定义，我们如下定义开集和闭集：

若${\forall z \in D,有z是D的内点，则称D为开集；若\forall D的聚点z有z \in D，则称z为闭集}$

同时，我们还需要定义点集的边界和边界点：

若${对z \in D, \forall \delta \gt 0，都有N(z, \delta)\cap D \ne \emptyset，N(z,\delta) \cap \mathbb{C}}$ \ ${D \ne \emptyset，则称z为D的边界点}$

称${D的边界\partial D为全部边界点构成的集合，即\partial D=}$ {${z|z为边界点}$}

还要先定义连通集：若点集内任意两点都可以用完全属于该点集的折线连接，则称该点集为连通集

在以上定义的基础上，我们定义区域和闭区域：

若D是连通的开集，则称D为一个区域

若点集${\overline{D}=D \cup \partial D，其中D是一个区域，则称\overline{D}是一个闭区域}$

（需要注意的是：${\overline{D}一定是一个连通的闭集，但反之未必，如复平面上的一条线段是连通的闭集，但不是闭区域}$）

若${\exists M \gt 0，区域D \subseteq}$ {${z||z|\le M}$} ${，则称D为有界区域；反之称为无界区域。}$

接下来，我们还需要定义连续曲线和光滑曲线：

${称曲线z=x(t)+iy(t), \alpha \le t \le \beta为连续曲线，若x(t)和y(t)都是关于t的连续函数}$

${若\forall t \in [\alpha, \beta]，x'(t)与y'(t)存在且连续，且不同时为0，则称z为光滑曲线}$

有限段光滑曲线首尾相连得到的连续曲线称为逐段光滑曲线

若${\forall t_1, t_2 \in [\alpha, \beta]且}$ {${t_1, t_2}$} ${\ne}$ {${\alpha, \beta}$}，有${x(t_1)+iy(t_1) \ne x(t_2)+iy(t_2)，则称z为简单曲线}$

若${x(\alpha)+iy(\alpha)=x(\beta)+iy(\beta)，则称z为闭曲线}$

显然每条简单闭曲线会将平面中不在曲线上的点分成一个有界区域和一个无界区域，分别称为曲线的内部和外部

利用简单闭曲线，我们可以把区域再分为两类：

若${\forall 完全在区域D内的曲线z，z的内部也完全在D内，则称D为单连通区域，否则称为多连通区域}$

第九节 复变函数的概念

先问一个狡猾的问题：复变函数是不是（高中范围理解的）函数？

都这样问了那肯定不是啊。。。

为什么不是呢？看复变函数的定义：

若${对于\mathbb{C}的子集G，\forall z \in G，存在w \in \mathbb{C}，使w与z满足法则f，则称w为z的复变函数，记作w=f(z)}$

我们对比（高中时）函数的定义：

${若对于某个集合A，\forall x \in A，存在唯一的y，使y与x满足法则f，则称y为x的函数，记作y=f(x)}$

注意复变函数的定义中没有要求唯一性！

这是为什么？稍后我们就会发现，从某种角度来说，这样定义会带来很大的方便

如果${f(z)}$总是唯一的（跟高中的定义一样），那么称为单值函数，否则称为多值函数

第十节 象点、原象与反函数

从高中我们就知道，函数是一种映射

若${在映射f下，z被映射到w，则称w为z的象点，z为w的原象}$

若${在映射f下，G的子集H被映射到H'，则称H'为H的映象，H为H'的原象}$

随着函数含义的拓宽，映射的含义也更加拓宽，每个$G$中的元素可能对应多个象点

因此，在这样的定义下，我们重新讨论有关逆映射的问题

设${G的映象为G^*，则f: G \rightarrow G^*总存在逆映射f^{-1}: G^* \rightarrow G}$

函数的逆映射称为反函数，可能单值，也可能多值

若函数${w=f(z)及其反函数均为单值函数，则称其为一一的}$

第十一节 指数函数与复数的指数表示

这里所言的“指数函数”，基本失去了实际上幂的含义

相反，幂函数需要利用指数函数定义，所以把指数函数放在幂函数前

（不过以下内容均需要建立在对实变函数定义清楚的基础上）

若${z=x+iy，其中x，y均为实数，则称\exp z=e^x(\cos y+i\sin y)}$

显然${|\exp z|=e^x，\operatorname{Arg} (\exp z)=y+2k\pi，其中k \in \mathbb{Z}}$

特别地，${z \in \mathbb{R}时，\exp z=e^z}$

（注：上面出现的均为实变意义上$e$的乘幂，实际上是接下来所述幂函数的主值而非幂函数本身，详见下一章）

由三角形式复数的运算法则和实数范围内指数函数的加法定理，易证：

${\exp z_1 \cdot \exp z_2=\exp (z_1+z_2)}$

${令x=0}$，很容易就发现${\exp (iy)=\cos y+i\sin y，这就是著名的欧拉公式}$

特别地，${\exp (2k\pi i)=1(k \in \mathbb{Z})，从而由加法定理，\exp (2k\pi i+z)=\exp z}$

由欧拉公式，我们可以把复数的三角形式写成更加简洁的指数形式：

${r(\cos \theta+i\sin \theta)=r \cdot \exp (i\theta)}$

（有的时候为了美观，会把${\exp z写作e^z}$，但这样会与幂函数产生歧义，本文统一写作${\exp z}$，详见下一章）

第十二节 对数函数和幂函数

对数函数的定义：${若\exp w=z，则称\operatorname{Ln} z=w}$，定义在${\mathbb{C^*}}$上

这很简单……吗？

注意到，对数函数是一个多值函数，为方便，我们要定义一个对数主值${\ln z}$

首先我们先从指数形式考虑

${\operatorname{Ln} [r \exp (i\theta)]=\operatorname{Ln} [\exp (i \theta) \cdot \exp (\ln r)]=i \theta + \ln r}$

（这里的${\ln r}$是实变意义上的对数函数）

从而对于非零复数${z，\operatorname{Ln} z=\ln |z|+i\operatorname{Arg} z}$

规定对数主值${\ln z=\ln |z|+i\arg z}$

对数主值函数是单值函数

接下来是头脑风暴：

${规定a^b=\exp (b\operatorname{Ln} a)}$，称${w=z^b为幂函数}$

称${\exp (b\ln a)为b^a的主值}$

问题来了：幂函数是单值的还是多值的？

由前面所提的辐角的性质，${对数函数的值之间彼此相差2k\pi i}$

又由指数函数的周期性，可以说明${幂函数单值当且仅当幂指数b \in \mathbb{Z}}$

同时可以说明：${幂函数有有限个值当且仅当b \in \mathbb{Q}，且值的个数为b的既约分母}$

这里我们正式对比一下${\exp z和e^z}$的区别：

${\exp z：单值，其值直接由欧拉公式决定}$

${e^z：一般多值，其值由指数函数和对数函数定义}$

两者之间也存在关系，由${\ln e=1，很容易说明\forall z \in \mathbb{C}，e^z的主值等于\exp z}$

第十三节 （反）三角函数与（反）双曲函数

$\huge{第三部分~进阶篇}$

第十四节 极限与连续

第十五节 导数、微分与解析函数的定义

第十六节 导数的四则运算法则

第十七节 Cauchy-Riemann方程

第十八节 有向曲线与复积分的定义

第十九节 由参数方程求复积分

第二十节 复积分的性质

第二十一节 Cauchy-Goursat基本定理

第二十二节 闭路变形定理与复合闭路定理

第二十三节 不定积分

第二十四节 Cauchy积分公式及其推广

$\huge{第四部分~专业篇}$

第二十五节 调和函数与共轭调和函数

第二十六节 解析函数与调和函数的关系

第二十七节 复数列的极限

第二十八节 复数项无穷级数的敛散性

第二十九节 复变函数项无穷级数

第三十节 幂级数与收敛圆

第三十一节 Taylor展开

第三十二节 双边幂级数与Laurent展开

第三十三节 扩充复平面上的孤立奇点

第三十四节 解析函数零点与孤立奇点的关系

第三十五节 留数定理

第三十六节 留数计算法则

第三十七节 部分函数定积分的计算方法