物理

跟着水门轻松学系列五之数学（进阶版）

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今日教程：二次函数

给个课后小练

1. 基础题：已知 $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$，求顶点坐标及最大值。

2. 中等题：函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的最小值为5，求 $a$ 的值。

3. 根的分布：若方程 $x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0$ 的两根在区间 $(2, 4)$ 内，求 $k$ 的范围。

4. 综合题：已知二次函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1) - f(x) = 2x$，且 $f(0) = 1$，求 $f(x)$ 解析式。

5. 应用题：用篱笆围一个矩形菜地，一面靠墙，总长20米，求面积最大时的长和宽。

指数函数

一、知识体系与核心概念

1. 基础定义与性质

定义：形如 $y = a^x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$）的函数。

关键性质：

定义域：$\mathbb{R}$；值域：$(0, +\infty)$。

过定点：$(0, 1)$（因 $a^0 = 1$）。

单调性：

当 $a > 1$ 时，严格单调递增；

当 $0 < a < 1$ 时，严格单调递减。

渐近线：$x$ 轴（$y = 0$），函数值无限趋近于0但永不等于0。 2. 图像变换规律

平移：

$y = a^{x \pm m}$：左右平移 $|m|$ 个单位（左加右减）。

$y = a^x \pm n$：上下平移 $|n|$ 个单位（上加下减）。

对称：

$y = a^{-x}$：与 $y = a^x$ 关于 $y$ 轴对称。

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今日教程：指数函数

先更一点

1. 复合型对数函数

-形式：$y = \log_a f(x)$（如 $y = \ln(x^2 - 4)$)。

核心难点：

定义域限制：真数 $f(x) > 0$ 必须优先满足！

单调性分析：

底数 $a > 1$ 时，$y$ 与 $f(x)$ 同增减；

$0 < a < 1$ 时，$y$ 与 $f(x)$ 增减性相反。

真题示例：

> 求 $y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 4x + 3)$ 的单调递增区间。

解析：

定义域：$x^2 - 4x + 3 > 0$ → $x < 1$ 或 $x > 3$。

内层函数 $u = x^2 - 4x + 3$ 在 $(-\infty,1)$

再来个重要公式～