物理

[TINY NSD]极限与连续

开坑，因为看到数学题目互答区的一群逆天民科

暑假慢慢填

参考书目：华东师范大学数学科学学院《数学分析》部分章节

先放个目录

一、数列的极限

（1）数列极限的定义

（2）数列极限的性质

①唯一性、局部性、有界性

②保号性、保不等式性及几个推论

③极限的四则运算法则

④迫敛性（两边夹法则）

（3）数列极限存在的条件（实数完备性六大表述之四）

①单调有界定理

②Bolzano-Weierstrass定理（致密性定理）

③Cauchy收敛准则

④确界原理及以上四种表述的等价性

（4）几个重要的极限

①${\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1(a}$<${0)}$

②${\lim_{n \rightarrow \infty}n \sin \frac{1}{n}=1}$

③${\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1}$

④${\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e}$

二、函数的极限

（1）函数极限的定义

①${x \rightarrow \infty}$时函数的极限

②${x \rightarrow x_0}$时函数的极限

③单侧极限

④非正常极限

（2）函数极限的性质

①唯一性、局部性、局部有界性

②局部保号性、保不等式性及几个推论

③极限的四则运算法则

④迫敛性（两边夹法则）

（3）函数极限存在的条件

①Heine定理

②Cauchy准则

（4）几个重要的极限

①${\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt[x]{a}=1(a }$<${0)}$

②${\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1}$

③${\lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt[x]{x}=1}$

④${\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e}$

三、函数的连续性

（1）函数连续的定义

①函数在一点处连续

②函数在一区间内连续

（2）函数连续的性质

①局部有界性与局部保号性

②四则运算与复合运算

③最大最小值定理

④介值性定理与根的存在性定理

（3）一致连续性

①一致连续性的定义

②一致连续性定理