物理

[TINY NSD]极限与连续

开坑，因为看到数学题目互答区的一群逆天民科

暑假慢慢填

参考书目：华东师范大学数学科学学院《数学分析》部分章节

一、数列的极限

（1）数列极限的定义

首先来谈谈“极限”的直观理解

一个无穷数列，随着${n}$的增大，${a_n}$无限接近于某一个特定的值，从直观上来看，所趋近的那个值就是数列的极限

那我们该如何规定“无限接近”？为此，我们采用了如下的${\epsilon-N}$语言，来给极限下严谨的定义

[定义1]称数列{${a_n}$}的极限为${a}$，若

${\forall \epsilon \gt 0，\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N，|a_n-a| \lt \epsilon}$，

记作${\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a}$。

[例1]若${a_n=2^{-n}，则\forall \epsilon \gt 0，令N=\max}${${1,- [\log_2\epsilon]+1}$}，

则${\forall n \gt N, |a_n|=a_n \lt a_N \le 2^{[\log_2\epsilon]-1} \lt 2^{\log_2\epsilon}=\epsilon}$，

由极限的定义，

${\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0}$。

（2）数列极限的性质

①唯一性、局部性、有界性

这几个性质相对比较好理解，因此放在一起

[性质1]收敛数列的极限唯一。

[证明]反证法，假设{${a_n}$}的极限为${a}$和${b}$，其中${a \ne b，不妨设a \gt b}$

令${\epsilon =\frac{a-b}{2}，则}$

${\exists N_1 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_1，|a_n-a| \lt \epsilon}$；

${\exists N_2 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_2，|a_n-b| \lt \epsilon}$。

令${n=N_1+N_2，则由上述两式，有}$

${a_n \gt a-\epsilon=\frac{a+b}{2}}$；

${a_n \lt b+\epsilon=\frac{a+b}{2}}$。

从而${\frac{a+b}{2} \lt \frac{a+b}{2}}$，矛盾！

故假设不成立，即数列{${a_n}$}的极限唯一。证毕。

通过这里我们发现，唯一性的证明其实就是利用极限的定义，发现当${n}$足够大时，${a_n}$无法同时离两个数足够近，从而说明收敛数列的极限必然是唯一的。

（教材原文的证明与此处含义相同而表述上略有区别，个人认为更加抽象，此处按下不表）

局部性大部分教材不会提到，但在这里也简要说明：

[性质2]改变收敛数列{${a_n}$}中的有限项，数列的极限不变。

[证明]记${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a}$，改变后的数列为{${a_n'}$}，${S=}$ {${n|a_n \ne a_n'}$}，

则${S}$为有限集，从而其必存在最大项，记为${N_0}$。

由极限的定义，

${\forall \epsilon \gt 0，\exists N(\epsilon) \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N(\epsilon)，|a_n-a| \lt \epsilon}$。

令${N'(\epsilon)=\max}$ {${N_0, N(\epsilon)}$}，

则${\forall \epsilon \gt 0，\forall n \gt N'(\epsilon)，|a_n'-a|=|a_n-a| \lt \epsilon}$。

从而${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n'=a}$。证毕。

[例2]若${a_1=114514, a_{n+1}=(\lfloor \frac{114514}{n} \rfloor +\frac{1}{2})a_n，求\lim_{n \rightarrow \infty}a_n。}$

显然${\forall n \ge 114515，a_{n+1}=\frac{1}{2} a_n}$，

令${a_n'=a_{114515} \cdot 2^{114515-n}}$，

则${\forall n \ge 114515，易证a_n=a_n'}$，

从而两数列至多有限项不同，由数列极限的局部性，${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n'=0}$。

（最后一步与例1过程相仿，略去）

在讨论有界性之前，我们需要给出有界数列的定义：

[定义2]若对于数列{${a_n}$}，${\exists M \gt 0，\forall n \in \mathbb{N^*}，|a_n| \le M}$，则称{${a_n}$}为有界数列。

从定义可以看出，我们可以用一个“边界”，限制住数列每一项的范围。

而收敛数列的极限决定对足够大的项，其不能与极限偏离太远，其必为有界数列自然合情合理

以下是严格证明：

[性质3]收敛数列必为有界数列。

[证明]若${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a}$，取${\epsilon=1}$，

则${\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N，|a_n-a| \lt 1}$。

取${M=\max}$ {${|a_1|, |a_2|, ..., |a_N|, |a|+1}$}，则${\forall n \in \mathbb{N^*}，|a_n| \le M}$。

从而{${a_n}$}为有界数列。证毕。

需要注意的是，有界数列未必为收敛数列，如${a_n=(-1)^n，其显然有界，但显然不收敛！}$

②保号性、保不等式性及几个推论

首先，你将看到一个非常显然的结论：

[性质4]若${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a}$，

则${\forall a' \gt a，\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N, a_n \lt a'}$；

${\forall a' \lt a，\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N, a_n \gt a'}$。

证明：若${a' \gt a，则令\epsilon=a'-a，由极限的定义，结论显然；}$

若${a' \lt a，则令\epsilon=a-a'，类似即证。}$

故命题成立。证毕。

[性质4的推论1]若${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \gt 0，则\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N, a_n \gt 0}$；

若${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \lt 0，则\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N, a_n \lt 0}$。

由性质4，这一结论显然，证明略去。

[性质4的推论2]对收敛数列{${a_n}$}，

若${\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N，a_n \ge a，则\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \ge a}$；

若${\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N，a_n \le a，则\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \le a}$。

前后两半证明类似，以下只证前半部分。

[证明]反证法，若${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \lt a}$，

由性质4，${\exists N' \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N'，a_n \lt a}$。

令${n=N+N'}$，则${a_n \lt a \le a_n}$，矛盾！

故前半部分成立。证毕。

[性质4的推论3]若${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a, \lim_{n \rightarrow \infty}b_n=b, a \lt b}$，

则${\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N，a_n \lt b_n}$。

[证明]由性质4，${\exists N_1 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_1，a_n \lt \frac{a+b}{2}}$；

${\exists N_2 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_2，b_n \gt \frac{a+b}{2}}$，

令${N=\max}$ {${N_1, N_2}$}，则${\forall n \gt N, a_n \lt \frac{a+b}{2} \lt b_n}$。证毕。

以上是关于保号性的内容，事实上，保号性只是保不等式性的一个特例，但也是保不等式性证明的基础

接下来，我们把目光移向保不等式性

[性质5]若对于两列收敛数列{${a_n}$}和{${b_n}$}，${\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N，a_n \ge b_n}$，

则${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \ge \lim_{n \rightarrow \infty}b_n}$。

[证明]先证一个引理。

[引理]若{${a_n}$}和{${b_n}$}收敛，则{${a_n-b_n}$}收敛，且${\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n-b_n)=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n-\lim_{n \rightarrow \infty}b_n}$。

（是的，这就是极限的四则运算法则之一，放到这里提前证了）

[引理的证明]记${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a, \lim_{n \rightarrow \infty}b_n=b}$。

由极限的定义，${\forall \epsilon \gt 0，\exists N_1, N_2 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_1，|a_n-a| \lt \frac{\epsilon}{2}；\forall n \gt N_2，|b_n-b| \lt \frac{\epsilon}{2}}$。

令${N=\max}${${N_1, N_2}$}，

则${\forall n \gt N，|(a_n-b_n)-(a-b)| \le |a_n-a|+|b_n-b| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon}$，

由极限的定义，${\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n-b_n)=a-b}$。证毕。

由条件，${\forall \epsilon \gt 0，\exists N \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N, a_n-b_n \ge 0}$，

由引理，{${a_n-b_n}$}收敛，且${\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n-b_n)=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n-\lim_{n \rightarrow \infty}b_n}$。

又由性质4的推论2，由于{${a_n-b_n}$}收敛，有${\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n-b_n) \ge 0}$，

故${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n-\lim_{n \rightarrow \infty}b_n \ge 0，即\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \ge \lim_{n \rightarrow \infty}b_n}$。证毕。

实际上，保号性和保不等式性前提都在于已知目标数列收敛，这导致其在求极限方面的应用范围无法与即将提到的迫敛性相比

③极限的四则运算法则

极限的运算法则有以下几条：

（以下{${a_n}$}，{${b_n}$}均收敛）

1）${\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \pm b_n)=\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \pm \lim_{n \rightarrow \infty} b_n}$

2）${\lim_{n \rightarrow \infty} a_nb_n=\lim_{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} b_n}$

3）${若b_n \ne 0及\lim_{n \rightarrow \infty} b_n \ne 0，则\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n \rightarrow \infty}a_n}{\lim_{n \rightarrow \infty}b_n}}$

实际上，由于${a_n-b_n=a_n+(-b_n)}$，${\frac{a_n}{b_n}=a_n \cdot \frac{1}{b_n}}$，

我们可以把以上内容化为更基本的三个性质，在这三个性质的基础上推导运算法则：

1'）${\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n + b_n)=\lim_{n \rightarrow \infty} a_n+\lim_{n \rightarrow \infty} b_n}$

2'）${\lim_{n \rightarrow \infty} a_nb_n=\lim_{n \rightarrow \infty}a_n \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}b_n}$

3'）${若b_n \ne 0及\lim_{n \rightarrow \infty} b_n \ne 0，则\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{\lim_{n \rightarrow \infty}b_n}}$

下面一一给出证明：

（以下记${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a, \lim_{n \rightarrow \infty} b_n=b}$）

1'）[证明]由极限的定义，${\forall \epsilon \gt 0，\exists N_1 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_1，|a_n-a| \lt \frac{\epsilon}{2}}$；

${\forall \epsilon \gt 0，\exists N_2 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_2，|b_n-b| \lt \frac{\epsilon}{2}}$。

则令${N=\max}$ {${N_1, N_2}$}，${\forall n \gt N}$，

${|(a_n+b_n)-(a+b)| \le |a_n-a|+|b_n-b| \lt \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon}$，

故${\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n +b_n)=a+b}$。证毕。

2'）[证明]由收敛数列的有界性，${\exists M \gt 0，\forall n \in \mathbb{N^*}，|a_n| \le M}$，

由极限的定义，${\forall \epsilon \gt 0，\exists N_1 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_1，|a_n-a| \lt \frac{\epsilon}{M+|b|}}$；

${\forall \epsilon \gt 0，\exists N_2 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_2，|b_n-b| \lt \frac{\epsilon}{M+|b|}}$。

令${N=\max}$ {${N_1, N_2}$}，则${\forall n \gt N}$，

${|a_nb_n-ab|=|a_n(b_n-b)+(a_n-a)b| \le |a_n||b_n-b|+|a_n-a||b| \lt \frac{|a_n|+|b|}{M+|b|}\epsilon \le \epsilon}$，

故${\lim_{n \rightarrow \infty}a_nb_n=ab}$。证毕。

3'）[证明]由收敛数列的保号性，${\exists N_1 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_1, |b_n| \gt \frac{|b|}{2}}$。

由极限的定义，${\forall \epsilon \gt 0, \exists N_2 \in \mathbb{N^*}, \forall n \gt N_2, |b_n-b| \lt \frac{|b|^2}{2} \epsilon}$，

令${N= \max}$ {${N_1, N_2}$}，则${\forall n \gt N}$，

${|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}|=\frac{|b-b_n|}{|b||b_n|} \lt \frac{\frac{|b|^2}{2}\epsilon}{\frac{|b|^2}{2}}=\epsilon}$，

故${\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}}$。证毕。

由1'）与2'）可推得1）；2'）与2）相同；2'）与3'）可推得3）。因此原定理证毕。

[例3]（从隔壁偷来的题）求${\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2^n+1}{3^n}}$。

类似于例1，易证${\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2^n}{3^n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3^n}=0}$，

从而由极限的四则运算法则，${\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{2^n+1}{3^n}=0}$。

④迫敛性（两边夹法则）

OK，下面就是数列极限最重要的（名字最多的）性质，没有之一

[性质6]${若\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=\lim_{n \rightarrow \infty}b_n=a,且\exists N \in \mathbb{N^*},\forall n \gt N, a_n \ge c_n \ge b_n，则\lim_{n \rightarrow \infty}c_n=a}$

[证明]对${\forall \epsilon \gt 0, \exists N_1 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_1, |a_n-a| \lt \epsilon}$；

${\exists N_2 \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt N_2, |b_n-a| \lt \epsilon}$。

${令N'=\max}$ {${N_1,N_2,N}$}，则${\forall n \gt N',a+ \epsilon \gt a_n \ge c_n \ge b_n \gt a-\epsilon}$

${由\epsilon的任意性及极限的定义，必有\lim_{n \rightarrow \infty}c_n=a}$。证毕。

迫敛性在求数列极限方面用处很大，以下给一个例子：

[例4]求${\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\ln n}{n^t}(t \gt 1)}$。

（当然，这里用L' Hospital法则能秒掉，但请大家暂时忘记这一点）

[证明]${\ln 1=0=1-1}$。

假设${\ln k \le k-1，则\ln (k+1)=\ln k+\ln (1+\frac{1}{k}) \le \ln k+\ln 2 \lt k-1+1=k}$。

故由数学归纳法，${\forall n \in \mathbb{N^*}，\ln n \le n-1}$，

${\forall n \in \mathbb{N^*}，\frac{\ln n}{n^t} \le \frac{n-1}{n^t} \lt n^{1-t}}$

显然${\lim_{n \rightarrow \infty} n^{1-t}=0}$（好吧其实是我懒得证）

又${\forall n \in \mathbb{N^*}, \frac{\ln n}{n^t} \gt 0}$，

从而由迫敛性，${\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n^t}=0}$。

⑤收敛数列子列的收敛性

首先，我们要定义数列的子列：

[定义3]若${\sigma: \mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{N^*}}$严格单调递增，则{${a_{\sigma(n)}}$}称为{${a_n}$}的一个子列。

[性质7]{${a_n}$}收敛的充要条件是其每个子列都收敛。

[证明]{${a_n}$}是其自身的子列，充分性显然。

必要性：{${a_n}$}收敛时，设${\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=a}$

${\forall \epsilon \gt 0，\exists k \in \mathbb{N^*}，\forall n \gt k, |a_n-a| \lt \epsilon}$

而${\sigma(k+1) \ge \sigma(k)+1 \ge \sigma(k-1)+2 \ge \cdots \ge \sigma(1)+k \ge k+1 \gt k}$

由${\sigma}$单调，${\forall n \gt k, |a_{\sigma(k)}-a| \lt \epsilon}$。

由$\epsilon$的任意性与极限的定义，必要性证毕。

[性质7的推论]收敛数列的所有子列极限相等。

在上述证明中已经说明过了，不再赘述

由于“每个”这类特殊的修饰，这一性质更常用来证明数列发散而非收敛

[例5]证明任意最小正周期不为$1$的周期数列发散。

设${\forall n \ge n_0, a_{n+T}=a_n}$，

由于${T \ne 1}$，必有${a_{n_0+1} \ne a_{n_0+2}}$

取{${a_n}$}子列{${a_{n_0+1+nT}}$}与{${a_{n_0+2+nT}}$}，

则${\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n_0+1+nT} =a_{n_0+1} \ne a_{n_0+2} = \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n_0+2+nT}}$

由性质7的推论，{${a_n}$}必然发散。证毕。

（3）数列极限存在的条件（实数完备性六大表述之四）

①单调有界定理

②Bolzano-Weierstrass定理（致密性定理）

③Cauchy收敛准则

④确界原理及以上四种表述的等价性

（4）几个重要的极限

①${\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1(a \gt 0)}$

②${\lim_{n \rightarrow \infty}n \sin \frac{1}{n}=1}$

③${\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1}$

④${\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e}$

二、函数的极限

（1）函数极限的定义

①${x \rightarrow \infty}$时函数的极限

②${x \rightarrow x_0}$时函数的极限

③单侧极限

④非正常极限

（2）函数极限的性质

①唯一性、局部性、局部有界性

②局部保号性、保不等式性及几个推论

③极限的四则运算法则

④迫敛性（两边夹法则）

（3）函数极限存在的条件

①Heine定理

②Cauchy准则

（4）几个重要的极限

①${\lim_{x \rightarrow \infty}\sqrt[x]{a}=1(a \gt 0)}$

②${\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1}$

③${\lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt[x]{x}=1}$

④${\lim_{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e}$

三、函数的连续性

（1）函数连续的定义

①函数在一点处连续

②函数在一区间内连续

（2）函数连续的性质

①局部有界性与局部保号性

②四则运算与复合运算

③最大最小值定理

④介值性定理与根的存在性定理

（3）一致连续性

①一致连续性的定义

②一致连续性定理