一阶线性微分方程

一、一阶线性微分方程的标准形式

一阶线性微分方程的标准形式为：

$\frac{d y}{d x} + P(x)y = Q(x) $

其中：

$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知连续函数

$Q(x) \equiv 0$ 时为 齐次方程，否则为 非齐次方程

二、积分因子法

目标：寻找函数 $\mu(x)$（称为积分因子），使方程转化为全导数形式：$\frac{d}{d x} \left[ \mu(x)y \right] = \mu(x)Q(x)$, 再进行积分

1. 方程两边乘以 $\mu(x)$：

$ \mu(x) \frac{d y}{d x} +  \mu(x) P(x)y =  \mu(x) Q(x) $

2. 要求左边为全导数：

$   \frac{d}{d x}[\mu(x) y] = \mu(x) \frac{d y}{d x} + \mu '(x)y    $

3. 比较上两式系数：

$   \mu'(x) = \mu(x)P(x)   $

4. 求解得积分因子：

$  \mu(x) = e^{\int P(x) d x}$

5. 方程两边乘积分因子：

$ e^{\int P(x) d x} \frac{d y}{d x} + e^{\int P(x) d x} P(x)y = e^{\int P(x) d x} Q(x) $

6. 左边化为全导数：

$   \frac{d}{d x} \left[ y \cdot e^{\int P(x) d x} \right] = Q(x) e^{\int P(x) d x}   $

7. 两边积分：

$   y \cdot e^{\int P(x) d x} = \int Q(x) e^{\int P(x) d x} d x + C   $

8. 解得通解：   

$   y = e^{-\int P(x) d x} ( \int Q(x) e^{\int P(x) d x} d x + C )   $

 三、例题

 例1：解方程：$\frac{d y}{d x} + 2xy = x$

Answer:

计算积分因子：

 $   \mu(x) = e^{\int 2x d x} = e^{x^2} $

$   e^{x^2} \frac{d y}{d x} + 2x e^{x^2} y = x e^{x^2} $

左边化为全导数：   $   \frac{d}{d x} \left( y e^{x^2} \right) = x e^{x^2}   $

积分求解：   $  y e^{x^2} = \int x e^{x^2} d x + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C   $

得通解：   $   y = \frac{1}{2} + C e^{-x^2}   $

例2：解方程：$\frac{d y}{d x} + y \tan x = \sin 2x$

Answer:

计算积分因子：

$   \mu(x) = e^{\int \tan x d x} = e^{-\ln|\cos x|} = \frac{1}{\cos x}   $

$   \frac{1}{\cos x} \frac{d y}{d x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} y = \frac{\sin 2x}{\cos x}   $

$   \frac{d}{d x} \left( \frac{y}{\cos x} \right) = 2 \sin x$

积分：   $   \frac{y}{\cos x} = -2 \cos x + C   $

得通解：   $   y = -2 \cos^2 x + C \cos x   $

四、物理应用

4.1 RC电路

$R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = V(t)$

其中：$q(t)$：电容器电荷量，$V(t)$：时变电压源

其通解为：$q(t) = e^{-t/(RC)} \left( \frac{1}{R} \int V(t) e^{t/(RC)} d t + C \right)$

4.2 牛顿冷却定律

$\frac{d T}{d t} = -k(T - T_{\text{env}})$

其中：$T(t)$：物体温度，$T_{\text{env}}$：环境温度

其解为：$T(t) = T_{\text{env}} + (T_0 - T_{\text{env}}) e^{-kt}$

五、特殊情形

 5.1 齐次方程的解

当 $Q(x) = 0$ 时，方程退化为：

$\frac{d y}{d x} + P(x)y = 0$

通解为：$y = C e^{-\int P(x) d x}$

5.2 积分因子法的失效情形

若 $P(x)$ 在积分区间内有奇点（如 $P(x) = 1/x$ 在 $x=0$ 处），需分段讨论解的存在性。

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