可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程的定义

可分离变量方程是具有如下形式的一阶常微分方程：

$\frac{y}{x} = f(x) \cdot g(y)$

其中：

$ f(x) $：仅关于自变量 $ x $ 的函数  

$ g(y) $：仅关于因变量$ y $的函数

核心思想：通过代数操作将方程两边的变量 $ x $ 和 $ y $ 完全分离，转化为可积分的形式。

二、微分方程的解法

两边同时除以 $ g(y) $（需假设 $ g(y) \neq 0 $）将方程改写为微分形式：

$\frac{d y}{g(y)} = f(x) d x$

对等式两边积分：

$\int \frac{1}{g(y)} d y = \int f(x) d x + C$

其中 $ C $ 为积分常数。

左边积分：对 $ y $ 积分，结果记为 $ G(y) $

右边积分：对 $ x $ 积分，结果记为 $ F(x) $

通解形式：$ G(y) = F(x) + C $

注意：若 $ g(y) = 0 $ 有实根 $ y = y_0 $，则 $ y = y_0 $ 是方程的平凡解，需单独列出  

三、水水的例题

例题1：解方程：

$\frac{d y}{d x} = xy$

答案：

分离变量：$\frac{1}{y} d y = x d x \quad (y \neq 0)$

两边积分：   $   \int \frac{1}{y} d y = \int x d x + C   $

得：       $\ln|y| = \frac{1}{2}x^2 + C$

得：   $   |y| = e^{\frac{1}{2}x^2 + C} = e^C \cdot e^{\frac{1}{2}x^2} $

合并常数 $ e^C $ 为 $ C' $（$ C' > 0 $）：

则：  $   y = \pm C' e^{\frac{1}{2}x^2}   $

将 $ \pm C' $ 重新标记为任意常数 $ C \in \mathbb{R} $

得通解：$   y = C e^{\frac{1}{2}x^2}   $

补充平凡解：当 $ y = 0 $ 时，原方程左边 $ \frac{d y}{d x} = 0 $，右边 $ x \cdot 0 = 0 $，成立。  

因此完整解为：$y = C e^{\frac{1}{2}x^2} \quad \text{或} \quad y = 0$

例题2：解方程：

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin x}{y^2}$

答案:

分类变量 :  $   y^2 d y = \sin x d x   $   

两边积分：   $   \int y^2 d y = \int \sin x d x + C   $

得： $   \frac{1}{3}y^3 = -\cos x + C$

得： $ y = \sqrt[3]{-3\cos x + C}   $

例题3：解方程：

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^2 - 1}{x^2 + 1}$

答案：

分离变量：   $\frac{1}{y^2 - 1} d y = \frac{1}{x^2 + 1} d x \quad (y \neq \pm 1)   $

分式分解：   $ \frac{1}{y^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{y - 1} - \frac{1}{y + 1} \right)   $

积分得：   $  \frac{1}{2} \ln\left| \frac{y - 1}{y + 1} \right| = \arctan x + C   $

整理：   $ \left| \frac{y - 1}{y + 1} \right| = C e^{2\arctan x}   $

补充平凡解：   $ y = 1$ 和 $ y = -1 $ 均为方程的解。

 四、物理中的小应用

4.1 放射性衰变模型

方程：$\frac{d N}{d t} = -\lambda N$

其中$  N(t) $ 为放射性原子数，$ \lambda > 0 $ 为衰变常数。

解：

分离变量：   $   \frac{d N}{N} = -\lambda d t   $

积分得：   $   \ln N = -\lambda t + C \implies N(t) = C e^{-\lambda t}   $

设初始条件   $ N(0) = N_0 $

得特解：   $   N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

4.2 人口增长模型（简化的Logistic方程）

方程：$\frac{d P}{d t} = kP$

其中 $ P(t) $ 为人口数量，$ k  > 0 $ 为增长率。

解：

分离变量：   $\frac{d P}{P} = k d t   $

积分得：   $   P(t) = P_0 e^{kt}   $    其中$ P_0 = P(0) $。

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