物理

分数量子霍尔效应

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$\huge{引言}$

霍尔电阻不仅在强磁场下有整数变化的规律，还有分数变化的规律。分数量子霍尔效应可以说是打开了一个全新的领域，甚至可以说是把凝聚态物理的地位提升到了一个新的高度。分数量子霍尔效应意味着，我们可以通过凝聚态的量子系统去人为创造出一些自然界本不存在的物理学规律。

比如基本粒子在量子统计规律上分为两大类：玻色子、费米子。如果两个玻色子相互交换位置，它们整体的波函数会获得一个数值是 1 的相位，比方本来的波函数假设是$\phi(x, y)，x和y$ 分别是两个玻色子的坐标，然后把两个玻色子交换，变成了$\phi(y, x)$，两个玻色子的交换会告诉我们,    $\phi(x, y)=\phi(y, x)$，但如果是费米子的话，它会获得一个 -1 的相位，也就是 $\phi(x, y) =-\phi(x, y)$。

但是分数量子霍尔效应这个“分数”的意义在于，我们可以在量子系统中获得一些准粒子（quasi-particle），它们并非粒子物理当中那些真实存在的基本粒子，而是凝聚态物理系统中被激发起来的一些量子行为，这些行为像是量子粒子的行为。其实我们前文提到的“声子”也可以被认为是一种准粒子，它不是粒子物理意义上的基本粒子，而是一个量子系统在某种情况下表现得像粒子（act like a particle），这些准粒子是从凝聚态物理系统中“涌现”（emergent）出来的。准粒子的概念最早也是由朗道提出的。分数量子霍尔效应中的一些准粒子在量子统计规律上，它们既不是玻色子也不是费米子。交换这两个准粒子，它们的波函数获得的相位不是 1 也不是 -1 ，而是一个模是 1 的复数。这种统计规律叫分数统计（fractional statistics）。当然，它们只能存在于分数量子霍尔效应这样的二维量子多体系统中。这些既不像玻色子也不像费米子的准粒子也被称为任意子（anyon）。

这样的任意子，目前在自然界看来是不存在的，也就是说，粒子物理的实验中完全没有发现这样拥有分数统计的粒子，粒子物理中也没有针对分数统计的理论。这完全是分数量子霍尔效应当中产生的奇特现象。这其实是给我们的基础物理研究指出了一个新方向，就是除了用高能对撞机不断撞出更小的粒子以外，我们还可以尝试用人为构造的凝聚态系统，模拟一些最基本的物理原理，分数量子霍尔效应就是一个很好的例子。我们通过这个凝聚态系统甚至模拟出了自然界中本不存在的粒子物理规律。这同时也启发了我们，准粒子是从凝聚态系统中涌现出来的，那么粒子物理意义上的这些基本粒子，是不是也是某些更加基本的“凝聚”当中“涌现”出来的呢？也就是，时空未必只有时间和空间，基本粒子并非独立存在于时空当中，基本粒子也许只是一些更基本的“凝聚”系统中的“涌现”。由华人物理学家文小刚提出的“弦网凝聚”（string-net condensation）阐述的正是这种思想，弦网凝聚理论中，电子和光子都是从弦网中涌现出来的。

$\huge{Part 1.分数量子霍尔效应的发现}$

整数量子霍尔效应已经够令人吃惊了，但是，1982年Tsui和Stormer发现了更令人吃惊的事情，他们在低温和更强磁场下测量了霍尔电阻$ρ_{xy}$，结果发现，不仅在$\nu$等于整数的时候会出现量子化平台，而且在$\nu$为分数的时候也会出现量子化平台，如下图

显然为了理解这种分数量子霍尔效应我们不能再忽略电子间的相互作用，否则的话前面我们理解整数量子霍尔效应时使用的单电子填充朗道能级就依然完全成立，那我们就只能得到整数量子霍尔效应。为了解释朗道能级部分填充时出现的分数量子化现象，电子间的库伦排斥力将非常重要，估算库伦排斥能$\frac{e^2}{4πε_0l_{b}}=\frac{\hbar\alpha_c}{l_B}$,会发现它和朗道能级$\hbarω_B$相差不大，所以某种意义上人们应该考虑为什么量子霍尔效应中的解释可以忽略电子间的库伦排斥力，所以分数量子霍尔效应的发现其实是使得人们开始意识到，单电子近似有时候是不成立的，电子间的相互作用可能非常重要，这就是所谓的强耦合强关联问题。

之所以量子霍尔效应可以忽略电子间相互作用，是因为重要的是讨论朗道能级被填满的情况，相互作用不会实质的改变物理图像，但对于分数量子霍尔效应，它的朗道能级是部分填充的，将会有巨量的不同填充方式，比如对于$\nu=\frac{1}{3}$的情况，这时候将$N=\frac{N_{\Phi}}{3}$的电子填充到最低朗道能级的$N_{\Phi}$个态中，填充方式将会有

$C^{\frac{N_{\Phi}}{3}}_{N_{\Phi}}=\frac{N_{\Phi}!}{(\frac{N_{\Phi}}{3})!(N_{\Phi}-\frac{N_{\Phi}}{3})!}$

填充数通常都非常大，而这些不同的填充方式都是简并的，对应于整个材料的简并量子态。

神奇的是，在分数量子霍尔效应的系统基态(整个材料的基态)之上，可以出现奇异的准粒子激发，所谓准粒子意思就是不是自然界中普遍存在的粒子，因此不是组成霍尔片材料本身的电子和离子，而是在霍尔片中出现的行为和一个粒子的行为完全类似的一种局部状态。它们本质上是分数量子霍尔效应中的电子通过相互作用产生的东西，但是分数量子霍尔效应中出现的这些准粒子非常奇怪，它们可以有分数电荷！比方说在$\nu=1/3$的霍尔态中可以出现$e/3$电荷的准粒子激发，而且根据上文，我们可以知道自然界中的粒子可以分为玻色子和费米子，而在引言中我们提到了这些粒子被称为任意子。而且我们知道电子可以有两种不同的自旋状态自旋向上和自旋向下，它们是电子的内禀状态，但是在某些分数量子霍尔效应中出现的准粒子甚至可以有诸如$\sqrt{2}$这样无理数个不同的内禀状态！

$\huge{Part.2基态波函数———Laughlin函数}$

根据任意基态的表示方式$\Psi_0,m∼w^me^{-\frac{|w|^2}{4l^2_B}}$

电子最低朗道能级$(\nu=1)$的单粒子态为$u_i(w,\overline{w})=w^ie^{-\frac{|w|^2}{4l^2_B}}$

式中$w=x+iy为二维平面的复坐标。这样的2+1维电子系统满足全同费米统计，因此对于填满最低朗道能级的\N_{\Phi}=\frac{eBS}{2π\hbar}$个电子而言，它们的多体波函数必须是一个全反对称波函数，填充方式唯一。因此波函数也是唯一的，由下面的行列式给出

其中的行列式是范德蒙行列式，利用其标准计算结果，多体波函数表达为

$\Psi=(x_1,x_2,\cdots,x_N)=\prod_{1≤i≤j≤N_{\Phi}}(w_i-w_j)\prod^{N_{\Phi}}_{I=1}e^{-\frac{|w|^2}{4l^2_B}}$