数学

新手轮-数与式

来回顾一下新手轮数与式的概念。

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一、有理数的基本概念:

1.正数与负数:

>0的数统称为正数，正数前面有“+”号，“+”号可省略。

为了表示相反意义的量，<0的数统称为负数，负数前面有“-”号。

0既不是正数，也不是负数。

2.有理数:

定义一:可比数，可以表示为两整数之比，$\frac{p}{q}$，(q≠0，p、q均为整数)。

定义二:整数与分数统称为有理数。

3.数轴:

数轴:规定了原点，正方向盘和单位长度的直线。

4.相反数与倒数:

倒数:乘积为1的两个数互为倒数，除以一个数就相当于乘上这个数的倒数，倒数具有保号性，可以用把分子分母互换的方法来快速求倒数。0没有倒数。

相反数:和为0的两个数互为相反数，减去一个数就相当于加上这个数的相反数，可以用性质符号变化的方法来快速求相反数，0的相反数为0。

5.绝对值:

数轴上，表示数a的点与原点的距离称之为a的绝对值，记做$|a|$。绝对值具有保号性。

二、有理数混合运算:

1.有理数的加与减:

化减为加:减去一个数就相当于加上这个数的相反数。

同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。

2.有理数的乘除:

化除为乘:除以一个数就相当于乘上这个数的倒数。

先定号，再求值。

奇负偶正。

3.有理数的乘方:

相同数的乘积可以写成乘方的形式，指数是几就相当于几个底数相乘。给负数或分数乘方需要加括号。

4.有理数混合运算:

从左往右计算。先乘方，再乘除，后加减。有括号先算括号。

4.科学计数法与有效数字:

科学计数法的形式:$x×10^n$。其中，$1\le|x|\lt10$。

有效数字:从左数第一个非0数字到m末尾数字。

三、绝对值与数轴:

1.绝对值-$\sout{袋鼠}$代数意义:若$|a|=a$，则a≥0；若$|a|=-a$，则a≤0。

2.绝对值-几何意义:数轴上，表示数的点与原点的距离。

3.数轴动点:~

四、代数式及整式的加减:

1.代数式:用基本的运算符号(不包括关系符号)连接数或字母的式子。

2.单项式:单独的数与字母的积。(易错点:π是一个数；单项式不包括分式)

3.多项式:单项式的和。

4.整式的加减:核心思想:苹果不能加梨。合并同类项:字母部分相同的项叫做同类项，同类项做一级运算可以合并。(字母部分不变，系数做一级运算)

五、一次方程:

等式:含有“=”的式子。

方程:含有未知数的等式。

解方程:使等号左右两边相等未知数的取值。

若一个整式方程有a个未知数，最高次数为b次，我们就称它为a元b次方程。(易错点:b次项系数不为0)

解方程的五个步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

多元一次方程的解有无数个。(不定方程)多元一次方程组的核心思想:消元、(代入消元和加减消元)五个步骤。

有的题会给解让你求参数，见解因代(将解代入原方程)即可。

六、整式的乘除:

1.幂的运算:($a^0=1，a≠0$)(负指数幂:$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0，p为正整数)$)同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$a^m×a^n=a^{m+n}$(m、n都是正整数)；同底数幂相除，底数不变，指数相减，$a^m÷a^n=a^{m-n}$(m、n都是正整数)；同底数幂乘方，底数不变，指数相乘，$(a^m)^n=a^{mn}$(m、n都是正整数)；积的乘方=乘方的积$(ab)^n=a^nb^n$。

2.整式乘法:数×数，字母×字母。若有多项式，乘法分配律。

3.整式除法:多项式÷多项式需要大除法

七、乘法公式基础/八、乘法公式进阶:

公式:

九、因式分解:

因式分解:把一个多项式转化成若干整式之积，是整式乘法的逆运算(注意事项:1.结果一定是乘积的形式;2.每一个因式都是整式;3.相同因式的积要写成幂的形式;4.没有大括号和中括号;5.每个因式中不能含有同类项;6.单项式因式要写在多项式因式的前面;7.每个因式第一项系数一般不为负;8.若不特殊说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止)

因式分解常用的方法:

1.提公因式:数字部分提公因数，字母部分提取相同字母的最低次幂(还可以提取多项式因式)

2.代入公式:依照公式来进行变形。

3.分组分解:如果整式没有公因式可以提取，也是无法直接用公式分解，就可以将多项式分组后再提公因式或代入公式。

4.十字相乘:若一个二次三项式可以因式分解，则一定可以写成两个二次一项式的积，可以将二次项系数和常数项分解，再交叉相乘后相加，能求出交叉项的就将交叉相乘时二次项系数和常数不做积的两个数放一个小括号内，再将两个小括号做积。概括:头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选。

十、分式:

1.分式的基本概念:

分式的定义:一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，其中A叫分子，B叫分母且B≠0。

分式有意义(或分式存在)的条件:分式的分母不等于零即B≠0。

分式的值为零的条件:分式的值为零是指分式在有意义的前提下分式的分子为零。即当A=0且B≠0时，$\frac{A}{B}$=0。

2.分式的基本性质:

分式的基本性质:分式的分子与分母同时乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。即$\frac{A}{B}=\frac{A×M}{B×M}=\frac{A÷M}{B÷M}(M≠0)$

约分:利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。分子分母没有公因式的分式叫做最简分式。

通分:利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式。为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分式的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。

3.分式的运算:

分式的乘法:$\frac{a}{b}·\frac{c}{d}=\frac{a·c}{b·d}$

分式的除法:$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a·d}{b·c}$

分式的乘方:$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$

同分母分式相加减:$\frac{a}{c}±\frac{b}{c}=\frac{a±b}{c}$

异分母分式相加减:$\frac{a}{b}±\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}±\frac{bc}{bd}=\frac{ad±bc}{bd}$

0指数幂:$a^0=1(a≠0)$

负整数指数幂:$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0，p为正整数)$

4.分式方程:注意分式要有意义。

十一、实数与二次根式:

1.平方根与立方根:

平方根:若$x^2=a$，则x就叫做a的平方根。一个非负数a(给负数开偶次方无意义)的平方根可以用符号表示为$±\sqrt{a}$。一个正数有两个平方根且互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

算术平方根:即非负的平方根。一个非负数a的算术平方根可以用符号表示为$\sqrt{a}$。一个正数有一个算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。

立方根:若$x^3=a$，则x就叫做a的立方根。一个数a的立方根可以用符号表示为$\sqrt[3]{a}$。任何数的立方根只有一个。一个正数的立方根为正数；0的立方根为0；负数的立方根为负数。

2.实数:有理数和无理数统称为实数。

3.二次根式化简:能开尽开:将被开方数直接开方，若开不尽则写成一个能开方的因数和一个不能开方的因数的乘积，将能开方的因数开方并写在根号外，不能开方的因数写在根号内。若都不能则不能化简。分母有理化。

4.二次根式基本运算:

二次根号乘法:$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

二次根号除法:$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

二次根号加减:和整式加减法则相同，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式。

5.二次根式分母有理化:

单项式分母有理化:利用分式的基本性质，将分母分子同时乘上分母的值，可以将分母根号中根号去掉。

多项式分母有理化:须请出平方差公式。