物理

[论坛资料室]闲证定理——一般一元二次方程求根公式其二

想不到吧

这个还有其二

想到再写一个这个的原因是最近学校里面在教韦达定理，老师是用求根公式证明的

可是我觉得，这个韦达定理和求根公式在逻辑方面事实上是并列的，至少在我看来是如此

然后我就想，既然逻辑上并列，并且求根公式可以推韦达，那么韦达按道理说就可以推导出求根公式

然后我尝试了一下，确实如此，下面给出推导过程

(由于内容太水就放划水摸鱼了)

假设方程为

$ax^2+bx+c=0~~~~~~~~(a\ne 0)$

我们先证明韦达定理

$我们知道，一般一元二次方程有两个根，此处\sout{不会}不作证明$

$然后设这两根为x_1和x_2，且x_1\ge x_2，由因式定理可知，原方程左端可以分解为$

$a(x-x_1)(x-x_2)$

即有

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2)$

$两边同除a，有$

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2$

对比系数即可得韦达定理

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1 x_2=\frac{c}{a}$

然后我们简单配凑一下即得

$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2=\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=\frac{b^2-4ac}{a^2}$

就先更到这儿