物理

[论坛资料室]张量分析（1）

如果深入学习理论物理或数学，适当的掌握张量理论是非常必要的。在流体力学，固体力学，广义相对论，电磁学甚至量子力学中，张量理论都是非常必要的。同时，张量理论也作为微分几何的基石。因此，自由基决定重操旧业，再讲一遍张量分析。

本系列不考虑流形上的张量分析以及代数上的张量，请放心食用。

张量分析是研究张量场的学科。所以在进入正题之前，我们要弄清楚什么是场。用数学家的黑话说，场是丛的截面。而对于非数学家来说，我们理解的场就是时空的函数。也就是说，映射

$$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$

就是一个场。准确来说，是$\mathbb{R}^n$上的实标量场。比如说温度场$T$就是这样的场。而

$$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$$

是$\mathbb{R}^n$上的$m$维实向量场。比如说速度场$v$就是这样的场。类似的，$n$阶实矩阵场也可以写作

$$f:\mathbb{R}^n\to\text{Mat}_k(\mathbb{R})$$

这类场比较少见，线性偏微分方程的系数场就是矩阵场。

而我们研究的张量场则是

$$f:\mathbb{R}^3\to(\mathbb{R}^3)^{\otimes n}$$

比如固体力学里的应力分布场$\mathcal{T}$就是二阶张量场。式中$(\mathbb{R}^3)^{\otimes n}$代表实三维$n$阶张量积空间。我们只考虑这个空间，其余的高维张量积空间，流形上的张量积空间或者复化张量积空间都不是我们考虑的范畴。

我们接下来定义几个基本的场。众所周知，在$\mathbb{R}^3$中任意一点都可以用三个实数来表示位置，这就引入了三个标量场，我们称之为坐标（或坐标场），第$i$个坐标记做$x^i$，三个坐标场构成的坐标系记做$\{x^i\}$。比如$\text{Cartesian}$坐标系（正交单位坐标系）$\{x,y,z\}$，球坐标系$\{r,\theta,\phi\}$等等。为什么这里把$i$记为上标我们一会再说。

坐标场是我们描述空间的一种方式。

坐标场的选取并非是任意的。如果用$\{x^\mu\}$来表示$\text{Cartesian}$坐标（为了和一般的坐标系$\{x^i\}$区分，我们在这里使用希腊字母来书写$\text{Cartesian}$坐标系的指标。下面在区分新旧坐标系的时候还会使用$\text{fraktur}$体书写新坐标系的指标，也是起区分作用），则任意一组坐标系$\{x^i\}$需满足在定义域内，$x^{\mu}(x^i)=x^{\mu}(x^1,x^2,x^3)$单值，连续光滑且可逆对于任意$\mu$。这种性质叫做局部正则。换言之，我们需要

$$\det\left(\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^i}\right)\neq0$$

$$\det\left(\frac{\partial x^i}{\partial x^{\mu}}\right)\neq0$$

即一个局部正则的坐标系需满足从$\text{Cartesian}$坐标系到其的坐标变换的$\text{Jacobi}$行列式非零。

从一个坐标系变换到另一个坐标系的操作称为坐标变换，比如从$\text{Cartesian}$坐标系变换到球坐标就是一种常用的坐标变换。

需澄清，坐标变换于空间本身无关，只是我们描述空间的方式发生了改变。什么意思呢？简单理解：在空间中存在一个线段，我们想知道这个线段的长度。我们选定一个坐标系$\{x^i\}$，在该坐标系下，线段的两个端点可以用该坐标系的三个坐标来表示，我们就知晓了线段的长度。我们做坐标变换$\{x^i\}\to\{x^{\mathfrak{i}}\}$（这里$\{x^{\mathfrak{i}}\}$就表示是变换后的坐标系，区分于变换前的旧坐标系。以后都沿用这样的写法），在坐标系$\{x^{\mathfrak{i}}\}$下，该线段两个端点在新坐标系中坐标发生改变，与在原坐标系下的坐标不相同。但这个线段本身没有发生改变，因此长度也没有发生改变。用严谨的话来说，这个线段的长度不依赖于参考系的变化。空间本身就是不依赖于参考系的变化的。

后面我们会说，这个线段的长度就是一个张量。

更加标准的阐述，这是物理学里所谓的协变原理。

任意一个标量场都能写成三个坐标场的函数，且标量场也是不依赖于参考系的（因为单一标量——准确来说是$0$维向量——是不依赖于参考系变化的，自然标量场也是不依赖于参考系的）。以$\text{Cartesian}$坐标系和球坐标系为例，任意的标量场$f$都满足$f=f(x,y,z)=f(r,\theta,\phi)$。坐标变换本身也是一个标量场的表示，即新坐标在旧坐标下的表示。

而对于矢量场，就略显复杂。

显然，用坐标场是无法表示矢量场的。从原点出发，到空间中的某一点结束，得到的矢量称为该点的位矢，全体点的位矢构成一个同构于$\mathbb{R}^3$的向量空间。由此引入了一个矢量场$\vec{r}$，称为位矢场。而位矢场的微分：

$$d\vec{r}=\sum_{i=1}^3\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^i}dx^i$$

由此式，我们定义协变基场（或称自然基场）：

$$\gamma_i=\partial_i\vec{r}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^i}$$

显然，协变基场是矢量场，且每一个坐标场对应一个协变基场，每一个坐标系对应三个处处线性无关的协变基场。我们把一个坐标系$\{x^i\}$的原点$O$和该坐标系的三个协变基场构成的二元组$\{O;\gamma_i\}$称为自然标架场。

下面，我们研究在坐标变换$\{x^i\}\to\{x^{\mathfrak{i}}\}$下（这里$\{x^{\mathfrak{i}}\}$就表示是变换后的坐标系，区分于变换前的旧坐标系。以后都沿用这样的写法）协变基场的变换规则，也就是变换前的坐标系$\{x^i\}$的协变基场$\gamma_i$与变换后的坐标系$\{x^{\mathfrak{i}}\}$的协变基场$\gamma_{\mathfrak{i}}$的关系。

$$\gamma_{\mathfrak{i}}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^{\mathfrak{i}}}=\sum_{j=1}^3\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial x^{\mathfrak{i}}}=\sum_{j=1}^3\frac{\partial x^j}{\partial x^{\mathfrak{i}}}\gamma_j$$

$$\gamma_i=\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^i}=\sum_{\mathfrak{j}=\mathfrak{1}}^{\mathfrak{3}}\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^{\mathfrak{j}}}\frac{\partial x^{\mathfrak{j}}}{\partial x^i}=\sum_{\mathfrak{j}=\mathfrak{1}}^{\mathfrak{3}}\frac{\partial x^{\mathfrak{j}}}{\partial x^i}\gamma_{\mathfrak{j}}$$

也就是说，$\gamma_i$和$\gamma_{\mathfrak{i}}$可以通过$\text{Jacobi}$矩阵的元来互相转化。在张量分析中，我们把$\text{Jacobi}$矩阵的元称之为坐标变换的变换系数，用$\Lambda$来表示：

$$\Lambda_\mathfrak{i}^j=\frac{\partial x^j}{\partial x^{\mathfrak{i}}}$$

$$\Lambda_i^\mathfrak{j}=\frac{\partial x^{\mathfrak{j}}}{\partial x^i}$$

这样，协变基场的变换规则就可以写作

$$\gamma_{\mathfrak{i}}=\sum_{j=1}^3\Lambda_\mathfrak{i}^j\gamma_j$$

$$\gamma_i=\sum_{\mathfrak{j}=\mathfrak{1}}^{\mathfrak{3}}\Lambda_i^\mathfrak{j}\gamma_{\mathfrak{j}}$$

显然，点的位置本身不依赖于参考系，故位矢场也是不依赖于参考系的。那么由位矢的微分

$$d\vec{r}=\sum_{i=1}^3\gamma_idx^i=\sum_{\mathfrak{i}=\mathfrak{1}}^{\mathfrak{3}}\gamma_{\mathfrak{i}}dx^\mathfrak{i}$$

任意矢量场都能表示成标量场和协变基场的线性组合，且不依赖于参考系（在线代里我们学过，任意线性无关组都可以作为基，故相同的矢量有无数种表示，故矢量是不依赖于参考系的，自然矢量场也继承了这一不变性）：

$$v=\sum_{i=1}^3v^i\gamma_i=\sum_{\mathfrak{i}=\mathfrak{1}}^{\mathfrak{3}}v^\mathfrak{i}\gamma_{\mathfrak{i}}$$

$v^i$，$v^\mathfrak{i}$称为称为向量场$v$在$\{x^i\}$和在$\{x^\mathfrak{i}\}$中的逆变分量。这里所谓逆变，和前面的协变意义何在，我们后面再加以解释。

学过力学的同学都知道，如果要求$v^i$需要坐标分解，是很困难的一件事。为了避免这种麻烦，张量分析中引入了一组特殊的矢量场，称之为逆变基场。在自然标架场$\{O;\gamma_i\}$上，我们定义逆变基场$\{\gamma^i\}$是满足对偶条件的矢量场：

$$\gamma^i\cdot\gamma_j=\delta^i_j$$

其中$\delta^i_j$是$\text{Kronecker delta}$符号（其实是$\text{Kroneck}$张量），在$i=j$时其取值为$1$，在$i\neq j$时其取值为$0$。

（未完待续）