物理

【论坛资料室】高等数学——函数与极限

先开个坑，以后更😎

有没有新手轮的浅评一下具体难度如何，有需要可以提出建议，我会细化

我尽量会讲全面，能证的我也尽量证，确保新手轮能看个大概

注：若有$\LaTeX$乱码本人会尽快修改

$\Huge{更新进度：\color{cyan}{15\%}}$

2025.6.2已更新

——————————————————————————————以下是正文——————————————————————————————

$\LARGE{引言}$

参考书籍：同济版《高等数学》

首先，为什么它叫高等数学？它与我们学的初等数学有什么区别？

换句话说，他凭什么就“高等”呢？

你可以先回忆一下你目前所学的初等数学

OK，我来概括讲一下，初等数学都是非常直观的，主要研究有限常量的计算，

比如说因式分解，方程不等式之类的东西

但是高等数学呢，就非常的抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽抽象

不仅研究的是变量，而且经常涉及无限

那既然是变量，那么变得肯定有规律

这时，就要用到我们小学二年级就学过的找规律了

回想一下你是怎么找规律的

肯定是先看第一个数和第二个数，然后往后依次找规律

说白点就是你建立起了数列$1,2,3\cdots$与找规律的数列的对应关系

这，就是映射

$\huge{Part~01.映射}$

$\LARGE{Ⅰ映射的概念}$

我们先直接上定义：

$设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应$，那么$称f为从X到Y的\color{blue}{映射}$，记作：

$f:X\rightarrow Y$

其中$y称为元素x(在映射f下)的\color{blue}{像}$，$并记作f(x)，即y=f(x)，而元素x称为元素y(在映射f下)的一个\color{blue}{原像}$，记作：$x\mapsto y.$

$集合X成为映射f的定义域，记作D_f(Domain)，即D_f=X；$

$X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作R_f(Range)或f(X)$，即$R_f=f(X)=\{f(x)|x\in X\}$

我们把这段定义变成人类能听懂的话：

有一堆小孩X和一堆男人Y，每个小孩都有对应的一个男人为父亲，

这个关系就是映射，对应一组的男人是小孩的像，小孩是男人的原像

好，在上述的定义里，还有一些小小的细节需要注意

$1.映射f的值域R_f\subset Y，不一定R_f=Y$

$2.构成映射的三要素：定义域D_f=X、值域R_f\subset Y、对应法则f$

$3.对每个x\in X，元素x的像y唯一；而对每个y\in R_f，元素y的原像不一定唯一$

OK，我们已经了解了映射的概念，接下来让我们认识它的分类：

设$f是从集合X到集合Y的映射，若R_f=Y，即Y中任意元素都是X中某元素的像，则称f为\color{blue}{X到Y上的映射}$或$\color{blue}{满射}$

$e.g.设X=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}，Y=\{(x,0)|\lvert x\lvert\le 1\}，f:X\rightarrow Y$

$若对X中任意两个不同元素x_1\ne x_2，它们的像f(x_1)\ne f(x_2)，则称f为X到Y的\color{blue}{单射}$

$e.g.设f:\left[ -\frac{\pi}{2}，\frac{\pi}{2}\right]\rightarrow\mathbb{R}，对每个x\in\left[ -\frac{\pi}{2}，\frac{\pi}{2}\right]，f(x)=\sin x$

$若映射f既是单射，又是满射，则称f为\color{blue}{一一映射}$(或$\color{blue}{双射}$).

$e.g.设f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}，对每个x\in\mathbb{R}，f(x)=x^3$

要理解这几个分类，还是靠我们伟大的🌰：

满射：所有的男人Y都是父亲；

单射：所有的父亲都只有一个孩子

双射：所有的孩子和男人一一对应

$\LARGE{Ⅱ逆映射与复合映射}$

根据单射的定义，设$f是X到Y的单射，对每个y\in R_f，有唯一的x\in X，适合f(x)=y$

这是我们惊奇地发现：这不就是反过来的另一个映射吗？于是，我们可以定义一个从$R_f到X的新映射g，即g:R_f\rightarrow X$.

对每个$y\in R_f，规定g(y)=x，这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的\color{blue}{逆映射}$，记作$f^{-1}，其定义域D_{f^{-1}}=R_f，值域R_{f^{-1}}=X.$

我们还可以类比成男人中的父亲和小孩的关系

但是，只有单射才存在逆映射.否则就会使$x的像f^{-1}(x)不一定唯一$.

例如$f:\left[ -\frac{\pi}{2}，\frac{\pi}{2}\right]\rightarrow\left[ -1，1\right] ，对每个x\in\left[ -\frac{\pi}{2}，\frac{\pi}{2}\right]，f(x)=\sin x的逆映射f^{-1}，就是反正弦函数的主值：$

$f^{-1}(x)=\arcsin x，x\in\left[ -1，1\right] $

OK，这就是逆映射了，接下来让我们学习复合映射：

设有两个映射$g:X\rightarrow Y_1，f:Y_2\rightarrow Z$

其中$Y_1\subset Y_2，那么我们就可以有映射g和f定出一个从X到Z的对应法则，将每个x\in X映射成f\left[g(x)\right]\in Z$

我们就将这个新的有映射称为映射$g和f构成的\color{blue}{复合映射}$，记作$f\circ g$，即

$f\circ g:(f\circ g)(x)=f\left[g(x)\right] ，x\in X$

$其中我们让Y_1\subset Y_2的原因是能让映射g的所有像都能成为映射f的原像，即R_g\subset D_f，否则无法构成复合映射.$

还要靠伟大的🌰来深入理解：

有一个映射是小孩到部分年轻男人，每个小孩对应部分年轻男人中自己的父亲；还有一个映射是年轻男人到老年男人，每个年轻男人对应老年男人中自己的父亲。则这两个映射构成的复合映射就是小孩到老年男人，对应自己的爷爷🤠

$e.g.设g:\mathbb{R}\rightarrow\left[ -1，1\right] ，对每个x\in\mathbb{R}，g(x)=\sin x；f:\left[ -1，1\right]\rightarrow\left[ 0，1\right] ，对每个u\in\left[ -1，1\right] ，f(u)=\sqrt{1-u^2}，$

则映射$g和f构成的复合映射f\circ g:\mathbb{R}\rightarrow\left[ 0，1\right]，对每个x\in\mathbb{R}，有(f\circ g)(x)=f(\sin x)=\sqrt{1-\sin^2x}=|\cos x|$

这时，如果你仔细观察，便会发现一个奇妙的东西：

一个单射$f$的与它的逆映射的定义域和值域互相颠倒，$D_f=R_{f^{-1}}$，于是，对于单射$f$，$(f\circ f^{-1})(x)=x，x\in R_f$

$\huge{Part~02.函数}$

$\LARGE{Ⅰ函数的概念}$

现在，映射我们差不多已经聊完了

但是，那仅仅是集合之间的关系，定义是也没有规定两个集合是数集、点集还是其他集合

我们想要数与数直接的关系，又该怎么办呢？

这就需要使用函数了🤓

定义：$设数集D\subset\mathbb{R}，则称映射f:D\rightarrow\mathbb{R}为定义在D上的\color{blue}{函数}$，通常简记为$y=f(x)，x\in D$

其中$x称为\color{blue}{自变量}$，$y称为\color{blue}{因变量}$，$D称为\color{blue}{定义域}$，$记作D_f，即D_f=D.$

在函数的定义中，对每个$x\in D，按法则f总有唯一的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的\color{blue}{函数值}$，

$函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的\color{blue}{值域}$，记作$R_f或f(D)，即R_f=f(D)=\{y|y=f(x)，x\in D\} .$

这些定义和我们之前初中的有些相似之处，但是又建立在映射的基础上，更加严谨

表示一个函数的记号也不一定是$f，通常用的还有“g”“F”“\varphi ”等，在同一问题中，为了表示区别，需要不同的记号表示$

这下，我们就可以很愉快的用简单的x来表示y啦

但是，我们经常会有很多函数不直接说明定义域，要确定一个函数的定义域，分为两种情形：

第一种是有实际意义的函数，比如物理的自由落体运动中，$s=\frac{1}{2}gt^2，t\in\left[ 0，T\right] .$

$其中物体下落时间为t，下落距离为s，开始下落时刻t=0，落地时刻t=T，于是t只能在\left[ 0，T\right] 这个区间内.$

第二种是非常抽象的函数，直接用算式表达，比如$y=\sqrt{1-x^2}的定义域是\left[ -1，1\right] ，否则原函数无意义$

这两种函数的定义域是使得算式有意义的实数构成的集合，我们叫它$\color{blue}{自然定义域}$.

我们在小学二年级就知道，函数可以用图象来表示，平面直角坐标系上的点集$\{ P(x，y)|y=f(x)，x\in D\}称为函数y=f(x)，x\in D的图象(图1—1)$.

例如，函数$y=2的定义域D=(-\infty ，\infty )，值域R_f=\{ 2\}，图象是一条平行于x轴的直线，如图1—2所示$.

$\LARGE{Ⅱ函数的特性}$

当然，许多函数也有一些非常特别的性质😋

它们就是：有界性、单调性、奇偶性、周期性

$\Large{1.函数的有界性}$

设函数$f(x)的定义域为D，数集X\subset D.若存在数K_1，使得f(x)\lt K_1对任一x\in X都成立，则称函数f(x)在X上有\color{blue}{上界}$，而$K_1称为函数f(x)在X的一个上界$.

同样，若存在数$K_2，使得f(x)\gt K_2对任一x\in X都成立，则称函数f(x)在X上有\color{blue}{下界}$，而$K_2称为函数f(x)在X的一个下界$.

若存在整数$M，使得|f(x)|\lt M对任一x\in X都成立，那么称函数f(x)在X上\color{blue}{有界}$.

若这样的$M不存在，就称函数f(x)在X上\color{blue}{无界}$.

还是把这段话翻译成人话：

在一个函数上的一段范围内，大于里面所有函数值的一个数就是一个上界，小于里面所有函数值的一个数就是一个下界

至于有界和无界还是很好理解的，我就不过多赘述$\sout{当然不是因为我懒}$

$e.g.函数\sin x在(-\infty ，\infty )上有界，因为|\sin x|\le 1$

我们还易证函数$f(x)在X上有界的充要条件是它在X上既有上界又有下界.$

我在这还是浅浅证明一下：

若函数$f(x)在X上有界，则必然存在M\in\mathbb{R}_+，使|f(x)|\le M$

$\therefore -M\le f(x)\le M$

$即函数f(x)在X上既有上界又有下界(充分)$

若$函数f(x)在X上有上界MAX及下界MIN$

$\because MIN\le f(x)\le MAX$

$\therefore |f(x)|\le\max(|MIN|，|MAX|)$

即函数$f(x)在X上有界(必要)$

$Q.E.D.$

$\Large{2.函数的单调性}$

设函数$f(x)的定义域为D，数集I\subset D.若对于区间I上任意两点x_1，x_2，当x_1\lt x_2时，恒有f(x_1)\lt f(x_2)，$

那么称函数$f(x)在区间I上是\color{blue}{单调递增}$的$(图1—3)；$

若对于区间$I上任意两点x_1，x_2，当x_1\lt x_2时，恒有f(x_1)\gt f(x_2)，$

那么称函数$f(x)在区间I上是\color{blue}{单调递减}$的$(图1—4).$

简单来说就是函数的函数值在一个区间内不断增加就是单调递增，反之就是单调递减

$e.g.函数y=x^2在区间(-\infty ，0\right]$是单调递减的，在区间$\left[ 0，\infty )是单调递增的(图1—5)；$

$而函数y=x^3在整个区间(-\infty ，\infty )都是单调递增的(图1—6)$

$\Large{3.函数的奇偶性}$

设$函数f(x)的定义域D关于原点对称.如果对于任一x\in D，f(-x)=f(x)恒成立，那么称f(x)为\color{blue}{偶函数}$.

如果对于任一$x\in D，f(-x)=-f(x)恒成立，那么称f(x)为\color{blue}{奇函数}$.

$直观一些就是偶函数图像关于y轴对称(图1—7)，奇函数图像关于原点对称(图1—8)$

$e.g.函数y=x^2是偶函数(图1—5)，函数y=x^3是奇函数(图1—6).$

$\Large{4.函数的周期性}$

未完待续......

如有错误，请指出，谢谢(我就经常打错字😅)