[论坛资料室]钓，继续钓（有意思的数学题）

（持续更新中）

写在前面：

首先，自由基不是数竞生！！！自由基是学化竞的，对数学很感兴趣而已

下面是题目的一些概述。可以做一下第一，第二题，挑战一下第三题。

第一题虽然长得很吓人，但个人感觉其实还是很简单的，解法很多，如果根据提示里给的最大值原理来解，难点在于证明函数的零边界。对普通微积分来说还是很钓的，还是具体地相关内容可以翻我的《$\text{Cauchy-Riemann}$方程的$L^2$估计》的前三个帖，用$\text{Dirchlet}$原理也可以秒杀哦～

第二题是同学给的，不算钓，来源于二四年高联。难点在瞪眼法。

第三题是纯钓鱼题，岩泽流形的一个$\text{Kähler}$特例，仅供挑战<(=￣▽￣=)>

第一题(20)，简单的方程（原创）：

假设$\omega$是$\mathbb{R}^n$中的有界区域。我们考虑在$\overline\omega$连续的函数。

我们规定，$\text{supp}(u)$代表满足$u(x)\neq0$的$x$全体。如果$\text{supp}(u)$是紧集，那么我们记

$$C_0^\infty(\omega)=\{u:\overline\omega\to\mathbb{R}\mid u\in C^\infty(\omega)\mid\text{supp}(u)\subset\omega\}$$

$$H^1(\omega)=\{u:\overline\omega\to\mathbb{R}\mid u\in L^2(\omega)\mid\nabla u\in L^2(\omega)\}$$

同时在$H^1(\omega)$上我们定义：

$$\|u\|_{H^1(\omega)}=\|u\|_{L^2(\omega)}+\|\nabla u\|_{L^2(\omega)}$$

$$=\int_\omega u\,dx+\int_\omega\nabla u\,dx$$

其中$dx$表示积分微元。

在此基础上，我们记

$$H_0^1(\omega)=\left\{u\in H^1(\omega)\middle|\exists\{u_j\}\subseteq C_0^\infty(\omega), \lim_{j\to\infty} \|u_j-u\|_{H^1(\omega)} =0\right\}$$

请你证明，$\text{Laplace}$方程$\nabla^2u=0$在$H_0^1(\omega)$中没有非零解。

提示：最大值原理指出，设有界区域$\omega\subset\mathbb{R^n}$，对于任意在$\omega$上满足$\nabla^2u=0$的，且在$\overline\omega$上连续的函数，其最大值和最小值一定在$\partial\omega$上取到。

第二题(20)，简单的复数（二四年高联）：

给定$z,w\in\mathbb{C}$满足$z+w=2$。求

$$S=|z^2-2w|+|w^2-2z|$$

的最小可能值。

第三题(20)，简单的复数+矩阵+几何（$\text{Iwasawa}$）：

我们随手写一个同构：

$$\mathbb{C}^3\simeq\left\{\begin{pmatrix}1~~~~z_1~~~~z_2\\0~~~~1~~~~z_3\\0~~~~0~~~~1\end{pmatrix}\Bigg|z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}\right\}$$

然后再定义：

$$\Gamma=\left\{\begin{pmatrix}1~~~~\gamma_1~~~~\gamma_2\\0~~~~1~~~~\gamma_3\\0~~~~0~~~~1\end{pmatrix}\Bigg|\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\in\mathbb{Z}[\text{i}]\right\}$$

其中$\mathbb{Z}[\text{i}]=\{x+\text{i}y\mid x,y\in\mathbb{Z}\}$是$\text{Gauss}$整数环。

$\Gamma$通过矩阵乘法右作用在$\mathbb{C^3}$上。请你证明，$\mathbb{C^3}/\Gamma$是紧复流形，但不是$\text{Kähler}$流形。

其中$\text{Kähler}$流形是指一个配备了$\text{Hermite}$度量$g$（即在局部坐标下，$(g_{jk})$均是$\text{Hermite}$矩阵的度量）的$n$维复流形，满足

$$d\omega=d\left(\text{i}\sum_{j,k=1}^ng_{jk}dz_j\wedge d\overline{z}_k\right)=0$$

提示：一个$\text{Kähler}$流形上关于全纯$p\text{-}$形式的一个定理：

若$n$维$\text{Kähler}$流形上的一个$(p,0)$形式

$$u=\sum_{I\in{\left([p],n\right)}}u_Idz_I$$

（其中$\left([p],n\right)$代表从$1$到$n$个中选择$p$个严格递增整数组成的序列全体）满足所有$u_I$都是全纯函数，则称其为一个全纯$(p,0)$形式。

$\text{Kähler}$流形上的任意全纯$(p,0)$形式$u$一定满足$du=0$。

这道题可以挖的彩蛋很多，哈哈。

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