- 1
其实很简单
因为： 1%3 = 1/3
1/3 = 0.333333..........
0.333333........*3 = 0.999999999.....
1/3 * 3 = 1
所以：0.9999999...... = 1
注： “ % "为除号 “ ........ "为省略号。
1. 几何级数求和法
将 \(0.\overline{9}\) 表示为无穷级数：\[0.\overline{9} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{9}{10^k} = \frac{9}{10} + \frac{9}{10^2} + \frac{9}{10^3} + \cdots\]这是一个首项 \(a = \frac{9}{10}\)、公比 \(r = \frac{1}{10}\) 的几何级数。当 \(|r| < 1\) 时，其和为：\[S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{9}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1.\]因此，\(0.\overline{9} = 1\)。
2. 实数完备性：柯西序列等价性
在实数构造中，实数可定义为柯西序列的等价类。考虑以下两个柯西序列：- 序列 \(a_n = 0.\underbrace{99\ldots9}_{n\text{个}}\)；- 常数序列 \(b_n = 1\)。它们的差为：\[|a_n - b_n| = 1 - 0.\underbrace{99\ldots9}_{n\text{个}} = \frac{1}{10^n}.\]当 \(n \to \infty\) 时，\(\frac{1}{10^n} \to 0\)，因此两个序列等价。由实数定义可知，\(0.\overline{9}\) 与 \(1\) 代表同一实数。
3. 戴德金分割法
戴德金分割将实数定义为有理数集的一个划分 \((A, B)\)，其中 \(A\) 无最大元，\(B\) 为所有上界。假设存在 \(x = 0.\overline{9}\) 和 \(y = 1\)：- 若 \(x \neq y\)，则存在有理数 \(q\) 满足 \(x < q < y\)。- 但任何 \(q < 1\) 必然小于某个 \(0.\underbrace{99\ldots9}_{n\text{个}} < x\)，矛盾。因此，\(x\) 和 \(y\) 的分割相同，故 \(0.\overline{9} = 1\)。
4. ε-δ 极限定义
设 \(x = 0.\overline{9}\)。对任意 \(\epsilon > 0\)，选择 \(N\) 使得 \(\frac{1}{10^N} < \epsilon\)。当 \(n > N\) 时：\[1 - 0.\underbrace{99\ldots9}_{n\text{个}} = \frac{1}{10^n} < \epsilon.\]由极限定义，\(x = \lim_{n \to \infty} 0.\underbrace{99\ldots9}_{n\text{个}} = 1\)。
5. 十进制表示唯一性
在标准实数系中，十进制展开唯一，除非某数可表示为有限小数或无限循环9。例如：\[1.000\ldots = 0.999\ldots\]为避免表示不唯一，数学上约定这两种形式代表同一实数，即 \(0.\overline{9} = 1\)。
这个是AI伴学给我的解释，不知道对不对:(
将就着看看吧，欢迎指正！
对于无穷的运算和有限的运算是不一样的，
是不能以我们的惯性思维，用简单的加减乘除去解释的。
举个不恰当的例子，希尔伯特的旅馆都听过吧，
∞+1=∞，∞+∞=∞，∞×∞=∞，(这里也许表达得不太严谨，因为∞不能参与运算)
这听起来很反直觉，但这是事实。
正是因为我们生活在一个“万物皆(可)数”的世界里，无穷这种东西才显得如此抽象。
世间万物都是有限的，除了思想。
在物理世界中，你永远画不出完美的几何图形，也找不到那绝对光滑的理想平面，宇宙中更没有无穷的东西，
但在我们的思想中，这是可以做到的。
鄙人认为：数学，就是一门用“物理”的大脑，去创造一个“反物理”的理想世界的学科。
如何去创造这个世界，乃是我们学习数学的目的。
所以也别争了，真要证明这东西，还是得用实数的稠密性，没用到极限思想的都纯属无稽之谈。
抱歉写了篇小作文，是不是跑题了？把我当个LZ看就行💦💦💦
$谁说\infty不能参加运算的，\infty×0=0(终究败给了0)$
不一定，也可以等于无穷或任意实数
