假设集合S中有n个数，当n≥4时（以4个为例）必有a+b+c+d=abcd

所以4abcd-4a-4b-4c-4d=0

所以a（bcd-4）+b（acd-4）+c（abd-4）+d（abc-4）=0

令a<b<c<d，由于上式不可能各项都为0，则至少有一项为负

所以abc-4<0

因为abc≥3！

要证明上述情况不存在，即证明当n≥4时，（n-1）！>n

因为（n-1）！-n >（n-1）（n-2）-n =

n^2-4n+2

当n>4时，上式＞0

故上述情况不存在

当n=2时，ab=a+b

则（a-1）b=a

所以b=a/（a-1）

显然当且仅当a=2时，b为整数，此时b为2，与a≠b矛盾，上述情况不存在

当n=3时，显然{1，2，3}符合题意

其余情况：

设三个数为a，b，c且a<b<c

若a=1，b=2，则c必为3

若a=1，b＞2，得b=（c+1）/（c-1）＞2

则（c+1-2c+2）/（c-1）＞0

则c＜3，与c>3矛盾

若a>1，则b>2，c＞3

因为a（bc-3）+b（ac-3）+c（ab-3）=0

由于bc>ac>ab>3，故和不可能为0

综上，该集合为{1，2，3}