数学

质心数学一轮挑战赛点评

最终还是决定一二式分两贴完，此帖就作一试贴喽

$\color{green}{\huge{一试部分}}$

话不多说，直接开始

一 原卷呈现

一 填空题

$1.设α,β,γ∈R，且满足 sinα·cosβ+|cosα·sinβ|=sinα·|cosα|+|sinβ|·cosβ$

$则(tanγ-sinα)^2+(cotγ-cosβ)^2的最小值为$______

$2.已知函数f(x)在(0,+∞)上严格单调递增，对任意x∈(0,+∞),均有f(x)·f(f(x)+\frac{2}{x})=\frac{1}{3}$

$记g(x)=f(x)+4x^2,x∈(0,+∞),则函数g(x)的最小值为$______

$3.已知复数z_{1},z_{2},z_{3} 满足|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1,|z_{1}+z_{2}+z_{3}|=r$

$其中r是给定实数,则\frac{z_1}{z_2}+\frac{z_2}{z_3}+\frac{z_3}{z_1}的实部是$_____

$4.给定平面上4点O,A,B,C 满足OA=4,OB=3,OC=2,\vec{OB}·\vec{OC}=3$

$则∆ABC面积的最大值为$______

$5.已知95个数a_1,a_2,…,a_95 每个都只能取+1或-1两个值之一$

$那么他们的两两之积的和a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+…+a_{94}a_{95}的最小正值为$______

$6.双曲线\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt 0,b\gt 0)的左右顶点分别为A_1,A_2$

$虚轴两端点分别为B_1,B_2,左右两焦点分别为F_1,F_2$

$若以A_1,A_2为直径的圆内切与菱形F_1B_1F_2B_2,切点分别为A,B,C,D$

$则菱形F_1B_1F_2B_2的面积S_1与矩形ABCD的面积S_2的比值\frac{S_1}{S_2}=$_____

$7.已知正三棱柱ABC - A_1B_1C_1的各棱长均为2,M,N分别为棱BB_1,CC_1上的点$

$若平面AMN将三棱柱分为上、下体积相等的两部分$

$则∆AMN的面积的最小值为$_____

$8.有一个公共电话亭,在观察使用这个电话的人流量时,设在某一时刻$

$有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n),且P(n)与时刻t无关$

$统计得到P(n)=\begin{cases}(\frac{1}{2})^2·P(0)~~~1≤n≤5\\0~~~n≥6\end{cases}$

$那么在某一时刻,这个公共电话亭一个人也没有的概率P(0)的值是$_____

二 解答题

$9. 已知各项均为正整数的数列\{a_n\}满足:$

$对任意的正整数m,k,都有a_{m^2}=a^2_m及a_{m^2+k^2}=a_ma_k$

$求数列\{a_n\}的通项公式$

$10.∆ABC中,BC=a,CA=b,以边AB为棱长向外作正方形ABEF$

$O为正方形ABEF的中心,M,N分别为边BC,CA的中点$

$当∠BCA变化时,求OM+ON的最大值$

$11.在直角坐标系xOy中$

$已知中心在原点、离心率为\frac{1}{2}的椭圆E的一个焦点为圆C：x^2+y^2-4x+2=0的圆心$$

$(1)求椭圆E的方程$

$(2)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为\frac{1}{2}的直线l_1,l_2$

$当直线l_1,l_2都与圆相切时.求点P的坐标$

$先码，纯手打，累死我了，先挂着有空补🥰$