物理

[论坛资料室]Cauchy-Riemann方程的平方可积估计：一维Hörmander估计

前排提醒：该课题难度较大。

前排再提醒：这个课题更新慢，先鸽。

$\text{Cauchy-Riemann}$方程，又称$\overline{\partial}\text{-}$方程，是复分析中判定全纯函数的重要方程。其衍生出的$\overline{\partial}\text{-}$问题是分析学的重要课题。学习$\text{Cauchy-Riemann}$方程的$L^2$估计，请具备：

完善的实分析基础；

适当的多变复函数分析；

足够的泛函分析基础；

部分微分几何与复流形基础；

必备的偏微分方程与函数空间理论基础。

接下来我们开始。本节我们将正式接触$\overline{\partial}\text{-}$方程估计最重要的方法，$\text{Hörmander}$估计。

瑞典数学家$\text{L.Hörmander}$是近代线性偏微分算子理论和多复变函数理论绕不开的数学家。在多复变函数领域，他开创的对于$\overline{\partial}\text{-}$算子的$\text{Hörmander}$估计方法以及$\text{Morrey-Kohn-Hörmander}$公式是我们要学习的重要概念。

前一节中，通过对复平面上$\text{Poisson}$方程的分析，我们成功的证明了$\text{Cauchy-Riemann}$方程弱解的存在性与唯一性，并得到了弱解的$L^2$估计：

$$\|u\|_{L^2}\leq C(\text{diam}\,\Omega)\|v\|_{L^2}$$

我们希望得到更好的估计，并能够在实际的分析中进行应用。

我们转而考虑加权$L^2$估计。设$\Omega\in\mathbb{C}$是有界区域，$f,g\in H_0^1(\Omega)$，定义实值权函数$\varphi\in C^2(\overline\Omega)$，并定义此权下的内积和范数：

$$\langle f,g\rangle_\varphi=\int_\Omega f\overline{g}e^{-\varphi},\quad \|f\|_\varphi=\sqrt{\langle f,f\rangle_\varphi}$$

这样就导出了一个加权$\text{Lebesgue}$空间$L_\varphi^2(\Omega)$。我们希望像$\text{Poisson}$方程一样构造$\text{Hilbert}$空间，利用$\text{Risez}$表示定理来得到弱解及其加权$L^2$估计。

记$(\partial_{\overline z})_\varphi^*$为$\partial_{\overline z}$相应于内积$\langle\cdot,\cdot\rangle_\varphi$的形式伴随算子。由分部积分

$$\langle f,\partial_{\overline z}g\rangle_\varphi=\int_\Omega f\overline{\frac{\partial g}{\partial\overline z}}e^{-\varphi}=\int_\Omega f\frac{\partial\overline g}{\partial z}e^{-\varphi}$$

$$=-\int_\Omega \frac{\partial(e^{-\varphi}f)}{\partial z}\overline g=-\int_\Omega e^\varphi\frac{\partial(e^{-\varphi}f)}{\partial z}\overline ge^{-\varphi}$$

$$=\langle (\partial_{\overline z})_\varphi^*f,g\rangle_\varphi$$

得到$(\partial_{\overline z})_\varphi^*$的表达式

$$(\partial_{\overline z})_\varphi^*f=-e^\varphi\frac{\partial(e^{-\varphi}f)}{\partial z}=\frac{\partial f}{\partial z}-e^\varphi f\frac{\partial(e^{-\varphi})}{\partial z}$$

$$=-\frac{\partial f}{\partial z}-e^\varphi f\frac{\partial(e^{-\varphi})}{\partial\varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial z}=-\frac{\partial f}{\partial z}+f\frac{\partial\varphi}{\partial z}$$

定义算子$\square_\varphi$:

$$\square_\varphi f=\partial_{\overline z}(\partial_{\overline z})_\varphi^*f=-\partial_{\overline z}f_z+\partial_{\overline z}(f\varphi_z)$$

$$=-\partial_{\overline z}f_z+f\partial_{\overline z}\varphi_z+\varphi_z\partial_{\overline z}f=-f_{z\overline z}+f_{\overline z}\varphi_z+f\varphi_{z\overline z}$$

计算内积

$$\langle\square_\varphi f,f\rangle_\varphi=-\int_\Omega f_{z\overline z}\overline fe^{-\varphi}+\int_\Omega f_{\overline z}\varphi_z\overline fe^{-\varphi}+\int_\Omega |f|^2\varphi_{z\overline z}e^{-\varphi}$$

第一项用分部积分处理：

$$-\int_\Omega f_{z\overline z}\overline fe^{-\varphi}=\int_\Omega f_{\overline z}\frac{\partial(\overline fe^{-\varphi})}{\partial z}$$

$$=\int_\Omega f_{\overline z}\overline{f_{\overline z}}e^{-\varphi}-\int_\Omega f_{\overline z}\varphi_z\overline fe^{-\varphi}$$

故内积

$$\langle\square_\varphi f,f\rangle_\varphi=\int_\Omega f_{\overline z}\overline{f_{\overline z}}e^{-\varphi}+\int_\Omega|f|^2\varphi_{z\overline z}e^{-\varphi}$$

$$=\|f_{\overline z}\|_\varphi^2+\int_\Omega\varphi_{z\overline z}|f|^2e^{-\varphi}$$

另一方面，

$$\langle\square_\varphi f,f\rangle_\varphi=\langle\partial_{\overline z}(\partial_{\overline z})_\varphi^*f,f\rangle_\varphi$$

$$=\langle(\partial_{\overline z})_\varphi^*f,(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\rangle_\varphi=\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

于是我们得到了如下的先验估计：

$$\|f_{\overline z}\|_\varphi^2\leq\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

$$\int_\Omega\varphi_{z\overline z}|f|^2e^{-\varphi}\leq\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

根据$\varphi$在紧集$\overline{\Omega}$上的连续性，$\varphi$在$\overline{\Omega}$上有下界，故而$e^{-\varphi}$在$\overline{\Omega}$上有正下界。于是得到

$$\|f\|_\varphi^2=\int_\Omega|f|^2e^{-\varphi}\gtrsim\|f\|_{L^2}^2$$

$$\|f_{\overline z}\|_\varphi^2=\int_\Omega|f_{\overline z}|^2e^{-\varphi}\gtrsim\|f_{\overline z}\|_{L^2}^2$$

两个不等式隐含的常数取相同的值（均取$e^{-\varphi}$的同一下界），便于后续推导。当$\varphi$在$\overline{\Omega}$上强次调和时，$\Delta\varphi$大于零，即$\varphi_{z\overline z}$大于零，故我们有

$$\|f\|_\varphi^2\lesssim\int_\Omega\varphi_{z\overline z}|f|^2e^{-\varphi}\leq\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

$$\|f\|_{L^2}^2+\|f_{\overline z}\|_{L^2}^2\lesssim\|f\|_\varphi^2+\|f_{\overline z}\|_\varphi^2$$

又因为$\|f\|_\varphi^2\lesssim\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$，$\|f_{\overline z}\|_\varphi^2\leq\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$，

$$\|f\|_{L^2}^2+\|f_{\overline z}\|_{L^2}^2\lesssim\|f\|_\varphi^2+\|f_{\overline z}\|_\varphi^2\lesssim\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

根据$L^2$范数的定义，

$$\|f_{\overline z}\|_{L^2}^2=\int_\Omega f_{\overline z}\overline{f_{\overline z}}=\int_\Omega f_{\overline z}\overline f_z=\int_\Omega f_z\overline{f_z}=\|f_z\|_{L^2}^2$$

所以我们有

$$\|f\|_{L^2}^2+\|f_z\|_{L^2}^2+\|f_{\overline z}\|_{L^2}^2\lesssim\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

显然隐含的常数只可能与$\varphi$有关，而与$f$无关。注意到不等式左半边是$H^1(\Omega,\mathbb{C})$的范数定义。故

$$\|f\|_{H^1}\lesssim\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi$$

用与上一节处理$\text{Poisson}$方程同样的方法，我们可以证明$\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*(\cdot)\|_\varphi$在$H_0^1(\Omega)$中的完备性，从而证明$(H_0^1(\Omega),\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*(\cdot)\|_\varphi)$也是$\text{Hilbert}$空间，并配备由范数$\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*(\cdot)\|_\varphi$诱导的内积

$$\langle u,v\rangle_{(\partial_{\overline z})_\varphi^*}=\int_\Omega(\partial_{\overline z})_\varphi^*u\overline{(\partial_{\overline z})_\varphi^*v}e^{-\varphi},\quad \forall u,v\in H_0^1(\Omega)$$

这样就完成了$\text{Hilbert}$空间的构造。

设$v\in L^2(\Omega)$，我们考虑$(H_0^1(\Omega),\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*(\cdot)\|_\varphi)$上的连续线性泛函$f\mapsto\langle f,v\rangle_\varphi$。对其进行估计：

$$|\langle f,v\rangle_\varphi|^2=|\langle v,f\rangle_\varphi|^2=\left| \int_{\Omega} v \overline{f} e^{-\varphi} \right|^2$$

对右边积分加一个权：

$$\int_{\Omega} v \overline{f} e^{-\varphi} = \int_{\Omega} \left(v\sqrt{\frac{e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}} \right) \left(f\sqrt{\varphi_{z\overline{z}} e^{-\varphi}} \right)$$

根据$\text{Cauchy-Schwartz}$不等式，

$$|\langle v, f \rangle_\varphi|^2 \leq\left(\int_{\Omega} \left|v\sqrt{\frac{e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}} \right|^2\right)\left(\int_{\Omega}\left|f\sqrt{\varphi_{z\overline{z}} e^{-\varphi}} \right|^2\right)$$

$$=\left(\int_{\Omega} \frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}} \right) \left(\int_{\Omega} |f|^2 \varphi_{z\overline{z}} e^{-\varphi} \right)$$

我们已经得出结论

$$\int_\Omega\varphi_{z\overline z}|f|^2e^{-\varphi}\leq\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

所以有

$$|\langle v, f\rangle_\varphi|^2 \leq\left(\int_{\Omega} \frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}\right)\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

积分的分子有下界，分母有上界，故这是一个有界线性泛函。由$\text{Risez}$表示定理，存在唯一的$w\in H_0^1(\Omega)$使得

$$\langle f,v\rangle_\varphi=\langle f,w\rangle_{(\partial_{\overline z})_\varphi^*}$$

也就是

$$\langle v,f\rangle_\varphi=\langle(\partial_{\overline z})_\varphi^*w,(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\rangle_\varphi$$

$$=\int_\Omega(\partial_{\overline z})_\varphi^*w\overline{(\partial_{\overline z})_\varphi^*f}e^{-\varphi},\quad \forall f\in C_0^\infty(\Omega)\subset H_0^1(\Omega)$$

同$\text{Poisson}$方程的处理方法，对$v$进行算子范数估计

$$\|v\|_{H_0^1(\Omega)^*}^2=\sup_{\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi\leq1}|\langle v, f \rangle_\varphi|^2$$

$$\leq\sup_{\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi\leq1}\left(\int_{\Omega} \frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}\right)\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\|_\varphi^2$$

$$=\int_{\Omega} \frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}$$

由$\text{Risez}$表示定理，我们也能得到$w$的估计

$$\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*w\|_\varphi^2\leq\int_{\Omega} \frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}$$

若选择$u=(\partial_{\overline z})_\varphi^*w$，则根据形式伴随算子的定义，我们有

$$\langle(\partial_{\overline z})_\varphi^*w,(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\rangle_\varphi=\langle u,(\partial_{\overline z})_\varphi^*f\rangle_\varphi=\langle\partial_{\overline z}u,f\rangle_\varphi$$

$$=\int_\Omega\partial_{\overline z}u\overline fe^{-\varphi}=\langle v,f\rangle_\varphi=\int_\Omega v\overline fe^{-\varphi}$$

即我们得到

$$\int_\Omega\partial_{\overline z}u\overline f=-\int_\Omega u\partial_{\overline z}\overline f=\int_\Omega v\overline f$$

这就表明，对于$\Omega$上的任意$v\in L^2(\Omega)$和任意强次调和函数$\varphi$，若$w\in H_0^1(\Omega)$是$(H_0^1(\Omega),\|(\partial_{\overline z})_\varphi^*(\cdot)\|_\varphi)$上连续线性泛函$f\mapsto\langle f,v\rangle_\varphi$对应的唯一函数，则$u=(\partial_{\overline z})_\varphi^*w$是$\text{Cauchy-Riemann}$方程$\partial_{\overline z}u=v$的唯一弱解，且$u$满足估计

$$\int_\Omega|u|^2e^{-\varphi}\leq\int_{\Omega} \frac{|v|^2 e^{-\varphi}}{\varphi_{z\overline{z}}}$$

事实上，$\text{Hörmander}$得出了无界区域的结论，也就是$\text{Hörmander}$估计定理：

设$\Omega$为$\mathbb{C}$中一个区域，$\varphi$为$\Omega$。设$v$为$\Omega$上一个可测函数且满足  

$$\int_{\Omega} e^{-\varphi} |v|^2 / \varphi_{z\bar{z}}$$

可测，那么方程$\partial_{\overline{z}} u = v$在分布意义下存在解$u$，使得  

$$\int_{\Omega} |u|^2 e^{-\varphi} \leq \int_{\Omega}\frac{e^{-\varphi} |v|^2}{\varphi_{z\overline{z}}}$$

$\text{Proof}$：

取一列有界开集$\{\Omega_j\}_{j=1}^{\infty}$满足：

$$\Omega_j \subset \subset \Omega_{j+1}$$

$$\Omega = \bigcup_{j=1}^{\infty} \Omega_j$$

对每个$\Omega_j$，由前文所得的局部理论，存在弱解$u_j \in L^2_\varphi(\Omega_j)$满足：  

$$-\int_{\Omega_j}u\partial_{\overline z}\overline f=\int_{\Omega_j}v\overline f$$

且具有估计：  

$$\int_{\Omega_j} |u_j|^2 e^{-\varphi} \leq \int_{\Omega_j}\frac{e^{-\varphi} |v|^2}{\varphi_{z\overline{z}}} \leq \int_{\Omega}\frac{e^{-\varphi} |v|^2}{\varphi_{z\overline{z}}}$$

（未完待续）