物理

[论坛资料室]论那些优雅的题

本期建议搭配曲子

任何一首古典音乐

说到优雅，各位肯定会想到不等式与和式的处理

以下给出几个简单的和式变换以及公式。

$1.(\sum^n_{i=1}a_i)^2=\sum^n_{i=1}a_i^2+2\sum_{1\le i\lt j\le n}a_ia_j$

$2.\sum_{1\le i\le j\le n}a_ia_j=\sum^n_{i=1}(\sum^n_{j=1}a_ia_j)=\sum^n_{j=1}(\sum^j_{i=1}a_ia_j)$

以下在给出$Abel$变换方法

1.$Abel和差变换公式$

$\sum^n_{k=m}(A_k-A_{k-1})b_k=A_nb_n-A_{m-1}b_m+\sum^{n-1}_{k=m}A_k(b_k-b_{k+1})$

这个的证明十分简单，可以自行证明一下。

此时，如果我们令$A_0$=0,$A_k=\sum^k_{i=1}a_i$在代入上述式子可得分部求和公式。

$\sum^n_{k=1}a_kb_k=b_n\sum^n_{k=1}a_k+\sum^{n-1}_{k=1}(\sum^k_{i=1}a_1)(b_k-b_{k+1})$

我们就可以得到$Abel$不等式。