物理

[论坛资料室]一个帖子搞定中高衔接重要的三角函数

投稿：化鲸

初中部分：

基础定义：

（1）角A 的对边与斜边的比值是角A 的正弦，记作$sinA$＝角A$\frac{对边}{斜边}$

（2)   角A 的邻边与斜边的比值是角A 的余弦，记作$cosA$＝角A $\frac{邻边}{斜边}$

（3） 角A 的对边与邻边的比值是角A 的正切，记作$tanA$＝角A $\frac{对边}{邻边}$

  (4)    角A 的邻边与对边的比值是角A 的余切，记作$cotA$＝角A$\frac{邻边}{对边}$

特值

进阶一点

互余角的三角函数间的关系

sin(90°-α)=cosα，cos(90°-α)=sinα  

tan(90°-α)=cotα，cot(90°-α)=tanα

同角三角函数关系：

tanα=$\frac{sinα}{cosα}$

$sin^2$α+$cos^2$α=1

$cotα$•$tanα$=1

$cotα$=$\frac{cosα}{sinα}$

记住了哈，那我们来看，初中的三角函数部分通常用来当作一个工具使用，那么出题的人呢会出出两个方面，第一个是与图形的结合，另一方面就是单纯计算三角函数的值。

我们来看第一种出题方法，看一个例子

信息都在图上哈，那我们可以看到这是三角函数与图形相关的经典表达手法，CD＝100，那么我们已知三角形abc是等腰直角三角形，设ab＝x，则bc＝x

那么你看，tan30°是不是等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$,这个看前面特值，bd＝100＋x，所以咱们的tan30°＝$\frac{x}{100+x}$(基本定义）＝$\frac{\sqrt{3}}{3}$，那么解一个简简单单的方程相信你一定会，最终答案就是ab＝50$\sqrt{3}$+50

那么接下来就是单纯计算了

通常来讲，单独那我们的三角函数来计算的话，一般会用到前面的互余角的三角函数间的关系，也就是$cos$，$tan$，$sin$，$cot$之间的转换，比如说

$sin$10°+$cos$45°=()

根据前面的公式，可知$sinα$=$cos$(90°-α)，可得最后答案为$\frac{\sqrt{6}＋\sqrt{2}}{4}$

还有一种就是特值计算，没什么好说的，代入特值通分计算就好

哒哒哒，来三角函数的高中啦，开心吗？上难度了

这里先记住一个重要的知识，上高中以后，角的扩展，我们初中的零到正无穷扩展到了任意角，可以取负喽！

弧度制：这里只需要记住一个就好，π=180°

OK，在之后，你还要注意的是，你所建立的任何一个角都放在了坐标系

定义也要改啦，小时候不知道sin0度得多少，改定义一下子就弄出来了，为什么？初中的三角函数建立与直角三角形，那么就会有角度的限制。

$sinα$=$\frac{y}{r}$

$cosα$=$\frac{x}{r}$

$tanα$=$\frac{y}{x}$

$cot$还是$tan$倒数，不写啦

你会好奇，这里的$x$，$y$，$r$是什么鬼东西？

$xy$就是$p$点的$xy$坐标，$p$是啥？，$p$就是终边和单位圆的交点，$r$就是单位圆的半径

单位圆嘛，半径为1，因此，前面公式自己简化吧

接下来就是诱导公式，太多了整理不过来，建议到网上搜，一抓一大把

给个图

三角函数值在各个象限的正负

$sin$：12正，34负

$cos$：14正，23负

$tan$：13正，24负

两角和与差的三角函数公式

sin(α＋β)＝sinα cosβ＋cosα sinβ

sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ

cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ

cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ

tan(α+β)=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα tanβ}$

tan(α-β)=$\frac{tanα-tanβ}{1-tanα tanβ}$

二倍角公式

sin2α=2sinα cosα

cos2α=$cos^2$α-$sin^2$α=2$cos^2$α-1=1-2$sin^2$α

tan2α=$\frac{2tanα}{1-tan^2α}$