物理

What is “求导”? Check this out.

以下部分内容摘自网络

一、求导的定义与数学表达

求导是计算函数在某一点的瞬时变化率的数学方法，其核心定义为：
设函数 y=f(x)y=f(x) 在点 x0x0​ 处有定义，当自变量增量 ΔxΔx 趋近于0时，函数增量与自变量增量的比值的极限

f′(x$_{0} $)=$\lim_{Δx \to 0} \frac{f(x_{0}+Δx)-f(x_{0})}{Δx} $

若该极限存在，则称函数在 x0x0​ 处可导。导数的几何意义为曲线在该点处的切线斜率，物理意义则可对应瞬时速度、加速度等概念。

二、求导的历史发展

1. ‌古典起源（古希腊至16世纪）‌

• 导数的概念最早可追溯至古希腊时期，数学家阿基米德使用“求限法”研究变化规律，而阿波罗尼奥斯提出“梯度法”分析曲线倾斜角度。
• 罗马时期，几何学家通过类似微分三角形的方法研究曲线的局部性质，但尚未形成系统理论。

2. ‌系统化发展（17世纪）‌

• ‌费马的差分思想‌：1637年，法国数学家费马研究曲线极值问题时，提出通过构造差分 f(A+E)−f(A) 分析变化率，其中因子 E 被视为导数的雏形。
• ‌牛顿与莱布尼茨的突破‌：
  • 牛顿创立“流数术”，将导数描述为“流量”（函数值）随时间变化的速率，并在《自然哲学的数学原理》中应用导数研究运动规律。
  • 莱布尼茨独立发明微分符号 $\frac{dy}{dx} $，强调导数的几何意义（切线斜率），并提出微分法则的符号化表达。

3. ‌严格化与推广（18-19世纪）‌

• 达朗贝尔（18世纪）引入极限概念重新定义导数，强调“极限过程”的重要性。
• 柯西、魏尔斯特拉斯等数学家完善极限理论，将导数定义为严格的分析学概念，解决早期因无穷小量模糊定义引发的争议。

4. ‌现代应用（20世纪至今）‌

• ‌理论拓展‌：泛函导数、分布理论等扩展了导数的应用范围。
• ‌计算机科学‌：在机器学习中，导数用于优化算法的梯度计算（如反向传播），成为深度学习的核心工具。

三、求导的应用领域

1. ‌物理学‌：计算瞬时速度（位移对时间的导数）、加速度（速度对时间的导数）等。
2. ‌几何学‌：确定曲线的切线方程（如抛物线 y=x$^{2} $ 在 x=1处的切线斜率为2）。
3. ‌经济学‌：分析边际成本或收益（成本函数对产量的导数）。
4. ‌工程学‌：优化控制系统中变量的变化率。

四、核心公式与法则

1. ‌基本公式‌：
   • (x$^{n} $)′=nx$^{n-1} $
   • (sin⁡x)′=cos⁡x
   • (e$^{x} $)′=e$^{x} $
2. ‌运算法则‌：
   • 线性性：[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x)
   • 乘积法则：[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)