物理

[论坛资料室]Cauchy-Riemann方程的平方可积估计：Poisson方程

前排提醒：该课题难度较大。

前排再提醒：这个课题更新慢，先鸽。

$\text{Cauchy-Riemann}$方程，又称$\overline{\partial}\text{-}$方程，是复分析中判定全纯函数的重要方程。其衍生出的$\overline{\partial}\text{-}$问题是分析学的重要课题。学习$\text{Cauchy-Riemann}$方程的$L^2$估计，请具备：

完善的实分析基础；

适当的多变复函数分析；

足够的泛函分析基础；

部分微分几何与复流形基础；

必备的偏微分方程与函数空间理论基础。

接下来我们开始。本课程旨在研究$\text{Cauchy-Riemann}$方程，故本节我们来对实数域中相关的$\text{Poisson}$方程做一些估计并由此来导出$\text{Cauchy-Riemann}$方程。

我们搬出$\text{Poisson}$方程的弱解存在性定理：

设$v\in L^2(\Omega)$，则$\text{Poisson}$方程$-\Delta u=v$必有且只有一个弱解$u\in H^1_0(\Omega)$，且该弱解满足估计

$$\|u\|_{H^{1}}\leq C(\text{diam}\,\Omega)\|v\|_{L^{2}}$$

若进一步假设$v\in C^{\infty}(\Omega)$，则$u\in C^{\infty}(\Omega)$。

$\text{Proof}$：我们先来回顾弱解的定义。考虑作用在$H^1_{\text{loc}}(\Omega)$上偏微分算子

$$Lu=\partial_\mu(f^{\mu\nu}\partial_\nu u+g^\mu u)+(p^\mu\partial_\mu u+q)$$

其中$f^{\mu\nu}$和$g^\mu$在$\Omega$上可微，$p^\mu$和$q$在$\Omega$上局部有界且可测。则方程$Lu=v$的弱解定义为$\forall \phi \in C_{0}^{\infty}(\Omega)$，有

$$\int_\Omega[\partial_\mu\phi(f^{\mu\nu}\partial_\nu u+g^\mu u)-\phi(p^\mu\partial_\mu u+q)]=-\int_\Omega v\phi$$

经典解是一定满足这个结论的，请自行证明。

根据$\text{Laplace}$算子的定义

$$\Delta u = \partial_{\mu}\partial^{\mu}u=\partial_{\mu}\delta^{\mu\nu}\partial_{\nu}u$$

故$\text{Possion}$方程$-\Delta u = v$的弱解定义为，$\forall w \in C_{0}^{\infty}(\Omega)$，满足下面等式的$u\in H^1_{\text{loc}}(\Omega)$

$$-\int_{\Omega}\partial_{\mu}w\delta^{\mu\nu}\partial_{\nu}u =-\int_{\Omega}\partial_{\mu}w\partial^{\mu}u=-\int_{\Omega}vw$$

$$\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla w=\int_{\Omega}vw$$

要知道，在偏微分方程弱解的存在性问题中，$\text{Risez}$表示定理是极其强大的万能牌。所以我们也沿用这个经典思路，凑一个$\text{Hilbert}$空间，并寻找其上的一个有界线性泛函，用$\text{Risez}$表示定理来得到结论。由$\text{Poincaré}$不等式

$$\|u\|_{L^{2}}^{2}\leq\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}\leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}$$

$$\|u\|_{L^{2}}\leq\|u\|_{H^{1}}\leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}$$

故$\forall \{u_{j}\}\subset H_{0}^{1}(\Omega)$在$\|\nabla(\cdot)\|_{L^{2}}$下是$\text{Cauchy}$列时，$\{u_{j}\}$必是$H^{1}$范数下的$\text{Cauchy}$列。由$H^{1}(\Omega)$的完备性，我们知道$\{u_{j}\}$一定收敛，故$(H_{0}^{1}(\Omega),\|\nabla(\cdot)\|_{L^{2}})$是$\text{Hilbert}$空间（$\text{Hilbert}$空间的其他结论请自行证明），并配备了由$\|\nabla(\cdot)\|_{L^{2}}$诱导的内积

$$\langle u, v\rangle_{\nabla}=\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla v\quad \forall u, v\in H_{0}^{1}(\Omega)$$

正好是$\text{Poisson}$方程弱解定义的左半边。接下来凑出右半边。由$\text{Cauchy-Schwarz}$不等式和$\text{Poincaré}$不等式，

$$\int_{\Omega}vw\leq\left|\int_{\Omega}vw\right|\leq\|v\|_{L^{2}}\|w\|_{L^{2}}\leq C\|v\|_{L^{2}}\|\nabla w\|_{L^{2}}$$

又因为$v$是$L^2$的，故$w\mapsto\int_{\Omega}vw$为$(H_{0}^{1}(\Omega),\|\nabla(\cdot)\|_{L^{2}})$上的一个有界线性泛函。

现在等式两边都凑齐了，由$\text{Riesz}$表示定理，存在唯一$u\in H_{0}^{1}(\Omega)$，使得

$$\int_{\Omega}vw=\langle u, w\rangle_{\nabla}=\int_{\Omega}\nabla u\cdot\nabla w\quad \forall w\in C_{0}^{\infty}(\Omega)\subset H_{0}^{1}(\Omega)$$

这就证明了弱解$u\in H^1_0(\Omega)$存在且唯一。又因为$v$的算子范数

$$\|v\|_{H_{0}^{1}(\Omega)^{*}}=\sup_{\|\nabla w\|\leq1}\int_{\Omega}vw$$

$$\leq\sup_{\|\nabla w\|\leq1}(C\|v\|_{L^{2}}\|\nabla w\|_{L^{2}})=C\|v\|_{L^{2}}$$

且$\text{Riesz}$表示定理告诉我们

$$\|v\|_{H_{0}^{1}(\Omega)^{*}}=\|\nabla u\|_{L^{2}}$$

故$\|\nabla u\|_{L^{2}}\leq C\|v\|_{L^{2}}$。常数$C$来自$\text{Poincaré}$不等式，自然只与$\text{diam}\,\Omega$相关。故我们就成功得到了弱解的估计

$$\|u\|_{H^{1}}\leq C(\text{diam}\,\Omega)\|v\|_{L^{2}}$$

下面我们证明正则性的继承结论。我们知道，$\text{Poisson}$方程

$$-\Delta u=\delta(z)$$

的弱解为$\text{Poisson}$方程的基本解

$$\Phi(z)=-\frac{1}{2\pi}\log|z|$$

也就是说对于任意$\phi\in C_0^\infty(\Omega)$，我们有如下分布导数公式

$$\int_\Omega\log|z|\Delta\phi=2\pi\int_\Omega\delta(z)\phi$$

考虑$v\in C^\infty(\Omega)$。设$\omega$是$\Omega$上的任意一个相对紧子集，构造截断函数$\chi\in C_0^\infty(\Omega)$使得$\chi|_\omega=1$，这样，对$v$局部截断就得到函数$\chi v$。对$\chi v$在$\text{supp}(\chi v)$外做零延拓，就得到$\chi v\in C_0^\infty(\mathbb{C})$。我们拿出经典位势论里著名的$\text{Newton}$位势

$$\hat u(z)=(\chi v*\Phi)(z)=-\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{C}\chi v\log|z-\cdot|$$

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{\Omega}\chi v\log|z-\cdot|$$

根据卷积的交换性，

$$\partial^{\alpha}\hat{u}=\partial^{\alpha}(\chi v*\Phi)(z)=\partial^{\alpha}(\Phi*\chi v)(z)=(\Phi*\partial^{\alpha}\chi v)(z)$$

显然得到$\hat u\in C^\infty(\Omega)$。现在我们来证明当$v\in C^\infty(\Omega)$时，$\text{Newton}$位势是$\text{Poisson}$方程的一个经典解。先证明它是弱解。对于任意的$\phi\in C_0^\infty(\Omega)$，

$$\int_{\Omega} \hat{u} \Delta \phi=-\frac{1}{2\pi}\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega}\chi v\log|z-\cdot|\right)\Delta\phi$$

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega}\chi(\zeta)v(\zeta)\log|z-\zeta|d\zeta\right)\Delta\phi dz$$

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega}\chi(\zeta)v(\zeta)\log|z - \zeta|\Delta\phi(z)d\zeta\right)dz$$

用$\text{Fubini}$定理交换积分：

$$\int_{\Omega} \hat{u} \Delta \phi=-\frac{1}{2\pi}\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega}\chi(\zeta)v(\zeta)\log|z - \zeta|\Delta\phi(z)dz\right)d\zeta$$

$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{\Omega}\chi(\zeta)v(\zeta)\left(\int_{\Omega}\log|z - \zeta|\Delta\phi(z)dz\right)d\zeta$$

$$=-\int_{\Omega}\chi(\zeta)v(\zeta)\left(\int_{\Omega}\delta(z - \zeta)\phi(z)dz\right)d\zeta$$

$$=-\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega}\chi(\zeta)v(\zeta)\delta(z - \zeta)\phi(z)dz\right)d\zeta$$

再次交换积分：

$$\int_{\Omega} \hat{u} \Delta \phi=\int_{\Omega}\left(\int_{\Omega}\chi(\zeta)v(\zeta)\delta(z - \zeta)d\zeta\right)\phi(z)dz$$

$$=\int_{\Omega}\chi(z)v(z)\phi(z)dz$$

当$z\in\omega$时，

$$\int_{\Omega} \hat{u} \Delta \phi=-\int_{\Omega}v\phi$$

这样就得到弱解的结论。

两分布相等当且仅当其差分布作用在任何$\phi\in C_0^\infty(\Omega)$上都得到零。又因为$\hat u,-v\in C^\infty(\Omega)$，其差也是光滑的。光滑分布若作用在任何$\phi\in C_0^\infty(\Omega)$都等于零，则该分布逐点等于零。故得到$-\Delta\hat u=v$逐点成立，自然$\hat u$是方程的一个经典解。

需澄清，$\hat u\in H_0^1(\Omega)$，但因为$\chi$的紧支撑和光滑性条件，$\hat u\notin H_0^1(\omega)$。所以$\hat u$是$\omega$上的非$H_0^1(\omega)$经典解。先前证明的$\text{Poisson}$方程弱解唯一性是针对$H_0^1$中的弱解，故这里$\hat u$的存在性并不与$u$的存在相冲突。就比如我们马上就将谈到，有界区域上的$\text{Laplace}$方程有无穷多解，但在$H_0^1$中只有零解。

$u$是弱解，$\hat u$是经典解，由此我们得到

$$\int_\omega(u-\hat u)\Delta\phi=0,\quad\forall\phi\in C_0^\infty(\omega)$$

则$(u-\hat u)$在$\omega$上弱调和。由$\text{Weyl}$引理，弱调和即光滑，于是得到$(u-\hat u)\in C^\infty(\omega)$。又因为$\hat u\in C^\infty(\Omega)$，$u\in C^\infty(\omega)$。相对紧子集$\omega$具有任意性，对于任意$z\in\Omega$都存在$\omega\ni z$，故$u\in C^\infty(\Omega)$。

因此，若$v\in C^\infty(\Omega)$，则弱解$u\in C^\infty(\Omega)$。

$$\text{Q.E.D}$$

当然，我们的证明是繁琐的。弱导数继承了导数几乎所有的运算法则，利用这一点，可以在几行公式之内得到$\hat u$是弱解。同时，上述所有证明推广到复值函数仍然适用，唯一需要改动的是$\text{Hillbert}$空间内积的构造。

$\text{Poisson}$解的唯一性的一个典型应用是证明下面的定理：

若$\Omega$是$\mathbb{C}$上的有界区域，则$H_0^1(\Omega)$中不存在非零的调和函数。

该定理的证明方法简单而多样，请读者自行进行证明。

如果$\Omega$无界，则我们需要$\mathbb{C}\setminus\Omega$包含一个开锥$\mathcal{C}$才能使结论成立。无界情况的证明超出了我们研究的范围，有兴趣的同学可以参见二四年阿里巴巴数竞决赛分析赛道第五题的解法。

接下来，我们开始使用复分析的视角。下面全部考虑复函数。由众所周知的$\text{Wirtinger}$导数算子

$$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+\text{i}\frac{\partial}{\partial y}\right)$$

$$\frac{\partial}{\partial\overline z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-\text{i}\frac{\partial}{\partial y}\right)$$

可以用$z$和$\overline z$来表示众所周知的复$\text{Laplace}$算子：

$$\Delta=4\frac{\partial^2}{\partial z\partial\overline z}$$

此时再根据弱解的定义，我们可以重新写出$\text{Poisson}$方程$-\Delta w=v$的弱解：

$$4\int_\Omega\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial\phi}{\partial\overline z}=\int_\Omega v\phi,\quad\forall\phi\in C_0^\infty(\Omega)$$

记$u=-4\frac{\partial w}{\partial z}$（和$\nabla$一样，我们默认这里的复导数是弱的，$w$强可导时才提升为强导数）则$u$满足

$$\int_\Omega u\frac{\partial\phi}{\partial\overline z}=-\int_\Omega v\phi,\quad\forall\phi\in C_0^\infty(\Omega)$$

显然，$u$是$\text{Cauchy-Riemann}$方程

$$\frac{\partial u}{\partial\overline z}=v$$

的一个弱解。由$w$的唯一性，$u$也是唯一的。这样就由$\text{Poisson}$方程的弱解构造了$\text{Cauchy-Riemann}$方程的唯一弱解。

用此方法还可以构造新的估计。鉴于复函数满足

$$\|u\|_{L^2}=4\left\|\frac{\partial w}{\partial\overline z}\right\|_{L^2}=2\|\nabla w\|_{L^2}$$

$\text{Poisson}$方程的弱解又满足

$$\|\nabla w\|_{L^{2}}\leq C(\text{diam}\,\Omega)\|v\|_{L^{2}}$$

所以我们有$\text{Cauchy-Riemann}$方程的弱解估计

$$\|u\|_{L^{2}}\leq C(\text{diam}\,\Omega)\|v\|_{L^{2}}$$

$u$是$w$通过弱复偏导数定义的，故当$w\in C^\infty(\Omega)$时，$u\in C^\infty(\Omega)$。根据上面的正则性继承结论，自然得到当$v\in C^\infty(\Omega)$时，$u\in C^\infty(\Omega)$，故$\text{Cauchy-Riemann}$方程的弱解也继承正则性。

鉴于后续研究$\text{Hörmander}$理论的需要，我们推导$u$的另一种表达方式。记$\partial_z^*$为$\partial_z$关于内积

$$\langle u, v\rangle=\int_\Omega u\overline{v}$$

的形式伴随算子，$\partial_{\overline{z}}^*$为$\partial_{\overline{z}}$关于内积$\langle u, v\rangle$的形式伴随算子。由分部积分公式，对于任意$w\in C^1(\Omega)$（同样，这里的$C^1(\Omega)$是一阶弱可微函数空间），$\phi\in C_0^\infty(\Omega)$，

$$\int_\Omega \partial_zw\overline\phi=-\int_\Omega w\partial_z\overline\phi=-\int_\Omega w\overline{\partial_{\overline{z}}\phi}$$

于是我们得到了形式伴随算子与原算子的关系

$$\partial_{\overline{z}}^*=-\partial_z,\quad \partial_z^*=-\partial_{\overline{z}}$$

故$u$可以用$\partial_{\overline{z}}^*$表示为

$$u=4\partial_{\overline{z}}^*w$$

其中$w$二维$\text{Poisson}$方程的弱解。

（本章完）