物理

[论坛资料室]n维球体积的几个性质

@小常是小脸 

基本定义：$n$维球是$\mathbb{R}^n$中，到原点的距离$r$为定值的点的集合。即在单位正交系下满足方程：

$$r^2=\sum_{i=1}^n x_i^2$$

$\text{(i)}$递推公式：

$$V_{n+1}(r)=\int_{-r}^r V_n(\sqrt{r^2-x^2})\,dx$$

（公式来自@小常是小脸 ）

证明：在第$j$个坐标$x_j=x_0$处垂直于$x$轴做嵌入$F(x_0)=\mathbb{R}^n\hookrightarrow \mathbb{R}^{n+1}$，明显$F(x_0)$交$n$维球得到的图形为$x_j=x_0$时满足球定义的点集。故我们得到：

$$r^2-x_0^2=\sum_{i=1,i\neq j}^n x_i^2$$

我们注意到这显然是$\mathbb{R}^{n-1}$中半径为$\sqrt{r^2-x_0^2}$的球。其体积为$V_n\left(\sqrt{r^2-x^2_j}\right)$。在$x_j\in [-r,r]$持续做这个嵌入并记$x_j=x$，即可得

$$V_{n+1}(r)=\int_{-r}^r V_n(\sqrt{r^2-x^2})\,dx$$

$\text{(ii)}$放缩性

$$V_n(r)=C_n r^n$$

其中$C_n$只与$n$有关。

区域$B$的体积测度经过线性变换$\mathcal{A}$满足：

$$\text{vol}(\mathcal{A}(B))=|\text{det}(\mathcal{A})|\text{vol}(B)$$

缩放变换$p\mapsto\lambda p$的变换矩阵为$\lambda I_n$，所以球体积的放缩有$V_n(\lambda r)=\lambda^n V_n(r)$。方体放缩有$(2\lambda r)^n=2^n\lambda^nr^n$，比值

$$\frac{V_n(\lambda r)}{(2\lambda r)^n}=\frac{V_n(r)}{(2r)^n}$$

只与$n$相关。$r^n$是$\frac{1}{2^n}$单位方体体积，故

$$V_n(r)=C_n r^n$$

其中$C_n$只与$n$有关。

利用放缩性，我们可以进一步推导其递推公式：

$$V_{n+1}(r)=\int_{-r}^r V_n(\sqrt{r^2-x^2})\,dx$$

球对称性：

$$=2\int_0^r V_n(\sqrt{r^2-x^2})\,dx$$

对$n+1$维球放缩：

$$=r^{n+1}2\int_0^1 V_n(\sqrt{1-x^2})\,dx$$

对$n$维球放缩：

$$=V_n(1)r^{n+1}2\int_0^1(1-x^2)^{\frac{n+1}{2}}\,dx$$

令$x=\sin\theta$，则：

$$V_{n+1}(r)=V_n(1)r^{n+1}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n+2}\theta\,d\theta$$

$$=V_n(1)r^{n+1}\Beta\left(\frac{n+3}{2},\frac{1}{2}\right)$$

$$=V_n(1)r^{n+1}\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+2\right)}$$

$$=V_n(1)r^{n+1}\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+2\right)}$$

令$x=\sqrt{t}$，用$\text{Beta}$函数的基本定义也可以推导出同样的结果。

故我们有最终结果：

$$V_{n+1}(r)=r\frac{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+2\right)}V_n(r)$$

或许这个显式表达式会更易于推导。