物理

数学函数大题分析方法(一)隐零点

(第一次发这么学术的帖,还是不打论坛资料室的标签了)

这里讲一点高中课内数学函数大题的几种方法，先介绍最基础的隐零点

观察这个函数$f(x)=e^x-x$，求它的最值

我们求导得到导函数为$e^x-1$,可知其极值点为x=0,带入得到其最小值为1(具体逻辑段不在此赘述)

那么如果这个零点的值我们求不出来呢？请观察下面的函数$f(x)=xe^x-x-lnx$

$f'(x)=(x+1)e^x-1-1/x=(x+1)(e^x-1/x)$

显然，对于$g(x)=e^x-1/x=0$,我们通过画图可以知道它一定有一个确定的解，但是无法得出这个解的具体数值

于是，我们可以用零点判定定理确定零点的取值范围

$g(1)$=$e-1$>0，

$g(1/2)$=$e^(1/2)-2$<0，

$g(x)$在$(0,∞)$上不间断且单调递增,

∴$∃$唯一$x_0∈(1/2,1),$使得$g(x_0)=e^(x_0)-1/x_0=0$

取对数可得$x_0+lnx_0=0$

将$x_0$带入$f(x)$,得到$f(x_0)=(x_0)e^(x_0)-x_0-lnx_0=1-0=0$

当$x$<$x_0$时，$f'(x)$<0,$f(x)$在$(0,x_0)$上单调递减,

当$x$>$x_0$时，$f'(x)$>0,$f(x)$在$(0,x_0)$上单调递增,

所以$f(x)$的最小值为1

(其实这题还可以用同构解决，我后续再说)

但是有的时候，也并非一定就要把隐零点解出来，我们只需要知道在这里存在一个零点/极值点，由此判断函数的正负或单调性

(未完待续)