物理 [论坛资料室]Cauchy-Riemann方程的平方可积估计：平面域上的Dirichlet原理
前排提醒：该课题难度较大。
前排再提醒：这个课题更新慢，先鸽。
$\text{Cauchy-Riemann}$方程，又称$\overline{\partial}\text{-}$方程，是复分析中判定全纯函数的重要方程。其衍生出的$\overline{\partial}\text{-}$问题是分析学的重要课题。学习$\text{Cauchy-Riemann}$方程的$L^2$估计，请具备：
完善的实分析基础；
适当的多变复函数分析；
足够的泛函分析基础；
部分微分几何与复流形基础；
必备的偏微分方程与函数空间理论基础。
接下来我们开始。先从简单的平面域$L^2$估计入手，并考虑实值函数，介绍$\text{Hillbert}$在$1900$年提出的$\text{Dirchlet}$原理。
$\text{Dirchlet}$原理的本质是广义$\text{Dirchlet}$问题，即弱形式的$\text{Dirchlet}$问题（下一篇会说）的一个结论。所谓广义$\text{Dirchlet}$问题是指：设$\Omega\subset\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$是有界区域，对于给定的$f\in H^1(\Omega)$，寻找$\Omega$上的调和函数$u:\mathbb{C}\to\mathbb{R}$使得$u-f\in H_0^1(\Omega)$。（$H_0^1(\Omega)$是$C_0^\infty(\Omega)$在$H^1(\Omega)$中的闭包）
在本篇中，$\text{Dirchlet}$空间指仿射空间
$$\mathcal{S}_f=\{u\in H^1(\Omega)\mid u-f\in H_0^1(\Omega)\}$$
$\text{Dirchlet}$积分指能量泛函
$$D[u]=\int_\Omega |\nabla u|^2$$
（微元略去不写）
接下来我们开始讲解$\text{Dirchlet}$原理。
$\text{Dirchlet}$原理：存在$u_0\in\mathcal{S}_f$使得
$$D[u_0]=\min_{u\in\mathcal{S}_f}D[u]$$
且$u$在$\Omega$上调和。
$\text{Proof}$：
$\text{Dirchlet}$积分严格大于零，且$\mathcal{S}_f$非空，故$D[u]$必有下确界。记
$$T=\inf_{u\in \mathcal{S}_f}D[u]$$
则可以构造极小化序列$\{u_j\}\in\mathcal{S}_f$使得
$$\lim_{j\to+\infty}D[u_j]=T$$
于是我们要证明存在$u_0\in\mathcal{S}_f$使得$D[u_0]=T$。即首要任务是证明$\{u_j\}$在$H^1(\Omega)$中是按$H^1\text{-}$范数是$\text{Cauchy}$列，再根据完备性和闭性证明$u_0$存在。
$$D[u_j-u_k]=\int_\Omega |\nabla(u_j-u_k)|^2$$
$$=\int_\Omega |\nabla u_j-\nabla u_k|^2$$
$$=D[u_j]-2\int_\Omega \nabla u_j\cdot\nabla u_k+D[u_j]$$
$$=2D[u_j]+2D[u_k]-\left(D[u_j]+2\int_\Omega \nabla u_j\cdot\nabla u_k+D[u_k]\right)$$
$$=2D[u_j]+2D[u_k]-D[u_j+u_k]$$
$$=2D[u_j]+2D[u_k]-4D\left[\frac{u_j+u_k}{2}\right]$$
这里的推导其实本质上只是$\text{Dirchlet}$积分的二次性质（请自行证明）。
$H_0^1(\Omega)$是线性的，故仿射空间$\mathcal{S}_f$也具有线性性质。故$D\left[\frac{u_j+u_k}{2}\right]\geq T$。又因为$\text{Dirchlet}$积分具有凸性（请自行证明），有
$$T\leq D\left[\frac{u_j+u_k}{2}\right]\leq\frac{1}{2}(D[u_j]+D[u_k])$$
故$D[u_j-u_k]$小于等于$2D[u_j]+2D[u_k]-4T$。
显然$2D[u_j]+2D[u_k]-4T$在$j,k\to+\infty$时收敛到零。故$\{u_j\}$按$\text{Dirchlet}$积分范数是$\text{Cauchy}$列。换句话说，$\{\nabla u_j\}$按$L^2\text{-}$范数是$\text{Cauchy}$列。
由$\text{Poincaré}$不等式
$$\|u\|_{L^2}\leq C(\text{diam}\, \Omega)\|\nabla u\|_{L^2},\quad \forall u\in H_0^1(\Omega)$$
可以得到$\{u_j\}$按$L^2\text{-}$范数是$\text{Cauchy}$列。又因为
$$\|u\|_{H^1}=\left(\|u\|_{L^2}^2+\|\nabla u\|_{L^2}^2\right)^{\frac{1}{2}}$$
自然$\{u_j\}$在$H^1\text{-}$范数下是$\text{Cauchy}$列，即$\{u_j\}$是$\left(H^1(\Omega),\|\cdot\|_{H^1}\right)$中的$\text{Cauchy}$列。根据$H^1(\Omega)$的完备性立即得到$\{u_j\}$收敛到$u_0$使得$D[u_0]=T$。又因为$H_0^1(\Omega)$是闭的，$\text{Dirchlet}$空间$\mathcal{S}_f=f+H_0^1(\Omega)$是也是闭的。故$u_0\in\mathcal{S}_f$。
考虑扰动$w\in H_0^1(\Omega)$，$t\in\mathbb{R}$，根据$\mathcal{S}_f$的线性性质，$u_0+tw\in\mathcal{S}_f$。根据极小性条件得到$D[u_0]\leq D[u_0+tw]$，
$$D[u_0+tw]=D[u_0]+2t\int_\Omega\nabla u_0\cdot\nabla w+t^2D[w]$$
$$2t\int_\Omega\nabla u_0\cdot\nabla w+t^2D[w]\geq 0$$
当$t$小于零且$t$足够接近零，主导项为线性项，故线性系数
$$\int_\Omega\nabla u_0\cdot\nabla w=-\int_\Omega u_0\Delta w=0$$
所以$u_0$在分布意义下调和（弱调和）。进一步提高正则性，根据$\text{Weyl}$引理，弱调和则光滑，光滑则经典调和，故$u$经典调和（强调和）。
$$\text{Q.E.D}$$
接下来我们补充对$\text{Poincaré}$不等式的证明：
不妨设$0\in\Omega$，$u\in C_0^\infty(\Omega)$。对于任意$\varphi\in C^2(\Omega)$，有
$$\int_\Omega u^2\Delta\varphi=-\int_\Omega\nabla u^2\cdot \nabla\varphi$$
$$=-2\int_\Omega u\nabla u\cdot \nabla\varphi$$
$$\int_\Omega|\nabla u|^2+2\int_\Omega u\nabla u\cdot\nabla\varphi+\int_\Omega|u|^2|\nabla\varphi|^2$$
$$=\int_\Omega|\nabla u+u\nabla \varphi|^2\geq 0$$
所以
$$-2\int_\Omega u\nabla u\cdot \nabla\varphi\leq\int_\Omega|\nabla u|^2+\int_\Omega|u|^2|\nabla\varphi|^2$$
$$\int_\Omega|u|^2(\Delta\varphi-|\nabla\varphi|^2)\leq\int_\Omega|\nabla u|^2=\|\nabla u\|_{L^2}^2$$
取$\varphi$使得$\Delta\varphi-|\nabla\varphi|^2\geq C^{-2}$（其中$C^{-2}$大于零且只与$\text{diam}\,\Omega$有关。如果你想取$\varphi$使得$\Delta\varphi-|\nabla\varphi|^2$小于零当然也行，会得到一个毫无意义的不等式），如取$\varphi=\frac{x^2+y^2}{(2\text{diam}\,\Omega)^2}$，得到
$$\int_\Omega|u|^2(\Delta\varphi-|\nabla\varphi|^2)\leq C^{-2}\|u\|_{L^2}^2\leq\|\nabla u\|_{L^2}^2$$
整理再开方即得$\text{Poincaré}$不等式。
$$\text{Q.E.D}$$
这里我们考虑的是实值函数$u:\mathbb{C}\to\mathbb{R}$，即满足$u^2=|u|^2$。若考虑复值函数$u:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$，则运用复分部积分也可以求解，不过要用到$\text{Cauchy-Schwartz}$不等式和$\text{Young}$不等式去估计$|\text{Re}(\overline{u}\nabla u\cdot\nabla\varphi)|$，详细证明就留着给大家练手了哈。
显然$C_0^\infty(\Omega)$在$H_0^1(\Omega)$中稠密，故假设$u\in C_0^\infty(\Omega)$不影响不等式适应性。若扩展到$u\in H^1(\Omega)$，则我们还需要$u$满足在$\Omega$上均值为零才能使不等式成立。
（本章完）
