物理

[论坛资料室][分析力学]哈密顿原理与哈密顿正则方程

$\Huge{哈密顿原理与哈密顿正则方程}$

$\huge{一、历史背景与思想革命}$

拉格朗日力学的局限：虽简化了约束处理，但对对称性和守恒律的揭示不够直观。哈密顿的突破：威廉·哈密顿于1833年提出作用量极值原理，并引入正则方程，将动力学转化为几何问题。

后续发展：庞加莱、辛几何、量子力学均以哈密顿体系为起点。

$\Huge{二、哈密顿原理（最小作用量原理）}$

$\large{1. 核心概念}$

作用量（Action）：定义在路径空间上的泛函：$S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \, dt$

变分原理：真实运动路径使作用量取极值（通常为极小），即： $\delta S = 0$ 固定端点条件：$\delta q(t_1) = \delta q(t_2) = 0$

$\large{2. 数学推导}$

变分过程：  

对路径 $q(t)$施加微小扰动$q(t) + \delta q(t)$  

计算作用量变分：    $\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt$  

利用分部积分处理 $\delta \dot{q}$：$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \right] \delta q \, dt + \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right|_{t_1}^{t_2}$

由端点条件消去边界项，得欧拉-拉格朗日方程：$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$

$\Huge{3. 物理意义}$

自然运动的“最优性”：真实路径是全体可能路径中作用量最小的（类比光程最短）。

全局性描述：与牛顿定律的局部微分方程不同，哈密顿原理提供整体视角。