物理

数竞入门小专题【三角形五心】

4.23添加了很多干货！速看！

4.21向量显示问题已修改

好吧，也是终于开了个小专题，现在东西不多，以后可能会更新的( ´∀｀)

如果大家有什么刚需的我会尽量出专题的！

之前的传送门：

三角形五心我认为是很重要的东西了，就整理了下，如果有用就收藏一下吧( ´∀｀)

【正片开始】

1. 重心（G）： 

定义：三条中线的交点。

坐标公式：若顶点为 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)$，则重心坐标为：     

$$G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).$$

性质：重心将中线分为 $2:1$ 的比例，且位于欧拉线上。

核心方法： 

坐标简化：直接用重心坐标公式快速确定位置，在坐标系中可简化中点、面积比例问题。 

比例分割：中线被重心分为 $2:1$，可用于构造相似三角形或线段比例问题。

应用场景：

求三角形面积三等分点。

结合向量证明三点共线（如重心与欧拉线）。

2. 垂心（H）：

定义：三条高线的交点。

坐标求法：联立两条高线的方程。例如，高 $AD$ 垂直于 $BC$，其斜率为 $-\frac{x_B - x_C}{y_B - y_C}$，过点 $A$，写出方程后求解交点。 

向量性质：若 $O$ 为外心，则 $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$。

核心方法：

高线方程联立：通过两条高线的方程求垂心坐标（注意斜率垂直关系）。

锐角/钝角判定：垂心位置在三角形内部（锐角）或外部（钝角），可辅助几何分析。

与欧拉线结合：利用 $\vec{OH} = 3\vec{OG} - 2\vec{O}$（$O$为外心）简化向量问题。

应用场景： 

动态几何中垂足三角形性质。

证明四点共圆（如垂心与顶点关联的圆）。

3. 外心（O）： 

定义：三边垂直平分线的交点，外接圆圆心。 

坐标求法：联立两条边的垂直平分线方程。例如，边 $AB$ 的中垂线方程为：

$$\left(x - \frac{x_A + x_B}{2}\right)(x_B - x_A) + \left(y - \frac{y_A + y_B}{2}\right)(y_B - y_A) = 0.$$

性质：到三顶点距离相等，且位于欧拉线上。

核心方法：

垂直平分线求坐标：联立两条边的中垂线方程，适合求外接圆半径。 

正弦定理关联：外接圆半径 $R = \frac{a}{2\sin A}$，可结合角度和边长计算。

锐角/钝角判定：外心在三角形内部（锐角）或外部（钝角）。

应用场景：  - 求三角形外接圆方程（解析几何）。

与九点圆关联的问题（如九点圆圆心为欧拉线中点）。

4. 内心（I）：

定义：三条角平分线的交点，内切圆圆心。  

坐标公式：若三边长为 $a, b, c$，则内心坐标为：

$$I\left(\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a + b + c}, \frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a + b + c}\right).$$

性质：到三边距离相等。

核心方法： 

角平分线定理：结合 $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ 求边长比例。

内切圆半径公式：$r = \frac{S}{p}$（$S$为面积，$p$为半周长），用于面积分割问题。 

坐标公式加权平均：利用 $I\left(\frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a+b+c}, \frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a+b+c}\right)$ 直接定位。

应用场景： 

内切圆与三边切点构造几何关系。

求角平分线长度（如 $AI = \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$）。

5. 旁心（J）： 

定义：一条内角平分线与两条外角平分线的交点，旁切圆圆心。

坐标公式：类似内心，但分母为 $p - a$ 或 $p - b$、$p - c$。

核心方法： 

外角平分线交点：类似内心，但需注意外角平分线方向。 

旁切圆半径公式：$r_a = \frac{S}{p - a}$，用于与延长边相切的圆相关问题。  

应用场景：  

处理三角形旁切圆与边的切点问题。 

与内角平分线结合构造对称性。

综合应用！

1. 坐标与向量结合：将五心坐标公式与向量运算结合，快速推导几何关系（如 $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$）。

2. 定理联动：

欧拉线定理（$O$、$G$、$H$共线且 $HG = 2GO$）。 

九点圆定理（过垂足、中点、欧拉线中点）。

3. 代数与几何转化：

用余弦定理、正弦定理将角度问题转化为边长计算。 

利用面积公式关联内切圆半径与角平分线。

示例技巧：  在内心的问题中，若已知角平分线比例（如 $AB:BC = 2:1$），可先设边长比例，再通过余弦定理和面积公式求具体值，最后用 $AI = \frac{r}{\sin \frac{A}{2}}$ 求解。

接下来是题～

找了一道向量五心题，我觉得质量还可以？大家做做呢，我是不太做得出来(一二轮的大佬就别看了哈( ´∀｀)

题目：设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，$H$ 为垂心，证明：  $$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}.$$

还有一道简单一点的，是五心的综合题，按理说预备轮就能做了，我是花了点时间做出来了( ´∀｀)

在△ABC中，内心为I，内切圆与BC切于点D。已 知BD=2，DC=1，且∠BAC=60°，求AI的长度。

解析过段时间再发哈，反正题也不是特难，大家应该都能做出来的

The end