数学

[数学漫谈]解决数学问题常用方法

[2025年7月5日已更新]

$在数学的领域里，我们会面对不同的题目，对应地，我们也会有对应的措施。$

$常见的解决数学问题方法有哪些呢？下面一起来看看吧！$

№1.瞪眼法(实用指数：💫💫💫)

$❶定义：通过观察条件的特殊结构特征直接将答案看出来，以此快速得到结果$

$❷适用条件：选择题和填空题$(⚠️注意多解！)

$❹典例分析：解方程：32^x-31^x=63$

$由瞪眼法，32^x-31^x=63=(32+31)(32-31)=32^2-31^2，直接观察出答案为2$

$不过在解答题中，需要证明其函数的单调性，才算完整的过程，否则会扣分。$(可自行尝试)

№2.特殊值法(实用指数：💫💫💫💫💫)

$❶定义：通过设定题目中的未知量为特定数值由此来简便运算，快速得出结果$

$❷适用范围：选择题和填空题$(⚠️注意事项：①所选数值要满足题意；②能简化计算过程；③注意多解)

$❸典例分析：已知abc=1，求\dfrac{a}{1+a+ab}+\dfrac{b}{1+b+bc}+\dfrac{c}{1+c+ca}的值.$

$由特殊值法，令a=b=c=1，原式=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1.$

$在解答题中，可以用1的代换和换元法求解$(可自行尝试)

№3.换元法(实用指数：💫💫💫💫)

$❶定义：引用一个或几个新变量代替原来的变量，从而简化问题，便于求解.(有时要代回原变量)$

$❷适用范围：不限$(⚠️注意事项：①确保新变量与原变量取值范围相匹配；②确保变量替换的合理性)

$❸分类：$

$⑴均值换元法：通过引用新变量将原变量表示为它们的平均值加上或减去一个差值，用于简化问题.$

$⑵双换元法：引用两个变量来代替新变量，达到简化题目的效果$

$典例分析：$

$Q_{1}：(初等数学)求函数f(a)=a(a+1)(a+2)(a+3)的最小值.$

解：$先进行分组，f(a)=(a^2+3a)(a^2+3a+2)$

$不妨设a^2+3a+1=t$←这里优先考虑均值换元法

$f(a)=(t-1)(t+1)=t^2-1$

$当t=0时，f(a)取最小值为-1$

$不过最小值能否取到呢？$

$注意到当t=0，a^2+3a+1=0，Δ恒大于0$

$所以f(a)最小值为-1$

$Q_{2}：(高等数学)已知a_{n}=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}(n为正整数)，求S_{n}.$

解：这道题直接平方并不好处理，我们可以先进行分母有理化(乘上分母的共轭根式)

            $a_{n}=\sqrt{(1+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}$

这里如果直接展开，还会存留根号，这里优先考虑换元法

令$t=\sqrt{n+1}-sqrt{n}$，则$\dfrac{1}{t}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$

所以$\sqrt{n+1}=\dfrac{1}{2}(t+\dfrac{1}{t})=\dfrac{t}{2}+\dfrac{1}{2t}$

$a_{n}=\sqrt{(1+\dfrac{t}{2}+\dfrac{1}{2t})t}$

$a_{n}=\sqrt{t+\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{1}{2}}$

$a_{n}=\sqrt{\dfrac{(t+1)^2}{2}}$

$a_{n}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(t+1)$

$a_{n}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}+1)$

所以$S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$

        $S_{n}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[(\sqrt{2}-1+1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2}+1)+...+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}+1)]$

        $S_{n}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(n+\sqrt{n+1}-1)$