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[论坛资料室][分析力学]拉格朗日方程

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$\Huge{拉格朗日方程}$

$\huge{一、历史背景与思想革新}$

牛顿力学的局限性：复杂约束系统中，矢量法需频繁处理未知约束力，计算繁琐。

数学工具的发展：变分法（欧拉、伯努利）和虚功原理的成熟为能量描述奠定基础。

拉格朗日的突破：将系统视为整体，用广义坐标替代笛卡尔坐标，以标量能量函数（拉格朗日量）统一动力学规律。

$\huge{二、基本概念与数学准备}$

$\large{拉格朗日量（Lagrangian）}$

定义：动能 $T$与势能 $V$ 之差：  $L(q, \dot{q}, t) = T - V$

核心思想：系统的动力学信息完全包含在 $L$ 中。

$\huge{三、拉格朗日方程的推导}$

$\large{1. 达朗贝尔原理的扩展}$

从虚功原理出发，引入惯性力 $-\mathbf{\dot{p}}_i$，动力学平衡条件为：$\sum_{i} (\mathbf{F}_i - \mathbf{\dot{p}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$将虚位移用广义坐标表示：$\delta \mathbf{r}_i = \sum_{k} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k} \delta q_k$代入后分离广义力项和惯性项。

$\large{2. 广义力的表达}$

主动力对应的广义力：$Q_k = \sum_{i} \mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}$

$\large{3. 动能与广义坐标的展开}$

将动能 $T = \frac{1}{2} \sum m_i \dot{\mathbf{r}}_i^2$ 转换为广义坐标形式：$T = \frac{1}{2} \sum_{k,l} M_{kl}(q) \dot{q}_k \dot{q}_l$其中 $M_{kl}$ 为质量矩阵。

$\large{4. 关键变分操作}$

从达朗贝尔原理出发： $\sum_i \left( \mathbf{F}_i - \frac{d}{dt}(m_i \mathbf{v}_i) \right) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$

分离主动力与惯性项： $\sum_i \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = \sum_i \frac{d}{dt}(m_i \mathbf{v}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i$

广义坐标下的虚位移： $\delta \mathbf{r}_i = \sum_k \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k} \delta q_k$

处理惯性项：   利用分部积分和动能 $T$的表达式：  $\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k$

引入势能：   若力保守，$Q_k = -\frac{\partial V}{\partial q_k}$，

代入后得标准拉格朗日方程$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 \quad (k=1,2,\dots,n)$ 

$\huge{四、方程的分量解读}$

$\large{1. 广义动量}$：$p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}$

$\large{2. 广义力}$：$\frac{\partial L}{\partial q_k}$

$\large{3. 时间演化}$：$\frac{d}{dt} p_k = \frac{\partial L}{\partial q_k}$

$\huge{五、应用实例}$

$\large{例1：单摆运动}$

广义坐标：摆角 $\theta$

拉格朗日量： $L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta$

方程：$\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0$

$\large{例2：弹簧振子系统}$

广义坐标：位移 $x$

拉格朗日量： $L = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2$

方程： $m \ddot{x} + k x = 0$

$\large{例3：阿特伍德机（Atwood's Machine）}$

广义坐标：滑轮转动角 $\theta$

动能与势能：  $T = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) R^2 \dot{\theta}^2, \quad V = (m_2 - m_1) g R \theta$？

方程：  $(m_1 + m_2) R \ddot{\theta} = (m_2 - m_1) g$

$\huge{六、推广与进阶}$

$\large{1. 非保守系统的修正}$

当存在耗散力（如粘滞阻力）时，方程扩展为：$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = Q_k^{\text{non-conservative}}$

$\large{2. 含时约束与变质量系统}$

若约束显含时间 $L(q, \dot{q}, t)$，方程形式不变，但广义动量可能不守恒。

$\large{3. 对称性与守恒律}$

循环坐标：若 $\frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$，则广义动量 $p_k$ 守恒。

诺特定理：连续对称性对应守恒量（如时间平移→能量守恒）。

$\huge{七、与哈密顿力学的衔接}$（后文将提及）

通过勒让德变换，拉格朗日方程可转换为哈密顿正则方程：$\dot{q}_k = \frac{\partial H}{\partial p_k}, \quad \dot{p}_k = -\frac{\partial H}{\partial q_k}$，其中哈密顿量 $H = \sum p_k \dot{q}_k - L$。

$\huge{八、局限性}$

理想约束假设：非理想约束需额外处理摩擦力。

全局有效性：某些奇异位形下广义坐标可能失效。

非相对论性：高速运动需引入相对论性拉格朗日量。