数学

微分流形讲义(10): 微分形式和多重线性代数

你可能说的是物理上张量的定义方式

物理上张量=在选择基后，张量积空间的一个元素

比较一下数学家和物理学家考虑张量的方式：

• （数学家）张量属于张量空间，这是一个由多线性泛映射性质定义的模（在几何中则是一个向量空间）。
  
• （物理学家）“张量是由一个或多个指标组织的分量系统，在一组变换下按照特定规则进行变换。”
  

在向量空间的张量积中，数学家和物理学家可以用相同的方法检查两个张量和是否相等：检查$t$和$t^{\prime}$在一个坐标系中的分量是否相同。（物理学家不处理模不是向量空间的情况，所以他们总是有可用的基。所以数学家处理的情况更一般，存在模不是向量空间的情况，即不能选基。）数学家和物理学家认为这是检验相等性的充分条件，其原因并不相同。数学家以一种无坐标的方式考虑条件$t=t^{\prime}$，并且知道要检查$t=t^{\prime}$只需检查$t$和$t^{\prime}$在一个基中的坐标是否相同。物理学家认为条件$t=t^{\prime}$的意思是（通过定义！）$t$和$t^{\prime}$的分量在所有坐标系中都匹配，并且张量上的多线性变换规则

$$\widetilde{T}_{j_1 \ldots j_{\ell}}^{i_1 \ldots i_k}=\sum\limits_{\substack{1 \leqslant p_1, \ldots, p_k \leqslant n \\ 1 \leqslant q_1, \ldots, q_{\ell} \leqslant n}} T_{q_1 \ldots q_{\ell}}^{p_1 \ldots p_k} a_{i_1 p_1} \cdots a_{i_k p_k} a^{q_1 j_1} \cdots a^{q_{\ell} j_{\ell}}$$

意味着，如果$t$和$t^{\prime}$的分量在一个坐标系中相等，那么它们在每个坐标系中都是相等的。这就是为什么物理学家满足于只在一个坐标系中检查。

物理学家实际上的一般操作：选择向量空间的一个元素，其满足泛性质，然后选择一组基，就得到了指标记号，即物理上的张量变换。

参考https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf

大致明白了，谢谢解答

也就是说，如果是在线性空间范畴$\mathbf{Vect}_k$，张量就退化成物理学上通过坐标不变性定义的张量

如果拓宽到模范畴$R-\mathbf{Mod}$，因为没有坐标系可供选取，设$M_1,M_2,…,M_n$和$T$是$R-$模，张量定义为满足泛性质的$\text{Mult}(M_1,M_2,…,M_n;T)$全体，就记为

$$M_1\otimes_R M_2\otimes_R…\otimes_R M_n$$

也就是所谓的$\text{Tensor Product Space}$，也是一个$R-$模，这个模则通过用模$M_r$构造自由$\text{Abel}$群$\mathcal{F}$的商群来获取，那这个商群是否能包含所有满足泛性质的$\text{Mult}(M_1,M_2,…,M_n;T)$呢？或者说由$\mathcal{F}$生成的张量积空间一定包含所有张量吗？

所以流形上的$(m,n)$张量积空间就是$T_pM^{\otimes m}\otimes T^*_pM^{\otimes n}$，而切空间和余切空间最为$p$上的光滑函数芽环$C^\infty_p(M)$上的模，可以这样理解吗

以及，线性空间作为域上的模，由其张量积生成的张量仍然有协变和逆变之分呀，是否就意味着在此意义下由模的张量积定义的张量和用坐标不变性定义的张量仍然不统一呢

在向量空间范畴$\mathsf{Vect}_k$中，张量积确实对应物理学中的坐标不变性张量，其元素独立于基的选择，符合物理张量的变换规则。此时两者是统一的。

对于一般环$R$上的模范畴$R\text{-}\mathsf{Mod}$，张量积模$M_1 \otimes_R \cdots \otimes_R M_n$通过自由模商去双线性关系构造，其泛性质确保所有多重线性映射$\operatorname{Mult}(M_1, \ldots, M_n; T)$均可唯一分解为该模到$T$的同态。因此，商模参数化了所有满足泛性质的多重线性映射，而非直接“包含”这些映射。该构造是完备的，故生成的张量积空间确实覆盖了所有此类张量。

关于流形上$(m,n)$型张量空间$T_p M^{\otimes m} \otimes T_p^* M^{\otimes n}$，需澄清切空间$T_p M$与余切空间$T_p^* M$实为实数域上的向量空间，而非光滑函数芽环$C_p^\infty(M)$上的模。导子（切向量）的Leibniz法则并不满足$C_p^\infty(M)$-线性，故切空间并非$C_p^\infty(M)$-模。物理中的协变/逆变张量对应数学中对偶空间张量积，在域$k$上（如$\mathbb{R}$）两者一致，因有限维向量空间的对偶与张量积结构明确，坐标变换规则自然成立。

当推广至一般$R$-模时，若无基（如非自由模），坐标变换定义失效，但数学中的张量积仍通过泛性质存在。此时协变/逆变概念需借助对偶模定义，但因模结构可能异于向量空间（如存在挠元），与物理中的直观不再完全一致。因此，在环$R$非域或模非自由时，两种视角存在差异。

谢谢指导，是我浅薄了

去补代数了

您可以开一些分析学相关的课吗，比如函数空间理论或者非线性pde一类的