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[论坛资料室][分析力学]虚功原理

豪得，虚功原理，它来了！

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$\Huge{虚功原理}$

$\huge{一、历史背景与发展}$

虚功原理的雏形可追溯至古希腊阿基米德的杠杆原理，但其形式化表述始于17-18世纪的科学家。伯努利、达朗贝尔、拉格朗日等学者逐步完善该原理，使其成为分析力学的基础工具。拉格朗日在《分析力学》中将其与变分原理结合，奠定了现代理论框架。

$\huge{二、基本概念}$

$\large{1. 虚位移（Virtual Displacement）}$

定义：虚位移是系统在某一时刻假想的、无限小的位移，需满足系统的约束条件，但与实际受力或时间演化无关。

特点：  数学上表示为 $\delta \mathbf{r}_i$，其中 $\delta$ 表示变分符号。

 虚位移不消耗时间（$\delta t = 0$），与实际位移 $d\mathbf{r}_i$ 不同。必须与系统约束兼容（如刚体的不可伸长性）。

$\large{2. 虚功（Virtual Work）}$

定义：力在虚位移上所做的功称为虚功，即：$\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}$

主动力与约束力： 

主动力（如重力、弹簧力）会做功。

理想约束力（如光滑接触面的法向力、刚体内部的约束）虚功为零。

$\large{3. 理想约束}$

定义：若约束力在任意虚位移上不做功，即满足：$\sum_{i} \mathbf{N}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$则称该约束为理想约束。例如光滑表面、不可伸长的绳索等。

$\huge{三、虚功原理的数学表述}$

$\large{1. 原理陈述}$

系统处于静力平衡的充要条件是：所有主动力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。$\sum_{i} \mathbf{F}_i^{\text{(active)}} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$

$\large{2. 广义坐标下的形式}$

对于具有 $n$个自由度的系统，引入广义坐标 $q_1, q_2, \dots, q_n$，虚位移可表示为：$\delta \mathbf{r}_i = \sum_{k=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k} \delta q_k$虚功方程转化为：$\sum_{k=1}^n Q_k \delta q_k = 0$其中 $Q_k = \sum_{i} \mathbf{F}_i \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_k}$ 为广义力。因 $\delta q_k$ 独立，故每个广义力均需为零：$Q_k = 0 \quad (k=1,2,\dots,n)$

$\huge{四、推导与证明}$

$\large{1. 从牛顿定律出发}$

考虑由$N$个质点组成的系统，静力平衡时每个质点满足：$\mathbf{F}_i + \mathbf{N}_i = 0 \quad (i=1,2,\dots,N)$其中 $\mathbf{F}_i$ 为主动力，$\mathbf{N}_i$ 为约束力。对虚位移点乘并求和：$\sum_{i} (\mathbf{F}_i + \mathbf{N}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$由于理想约束的虚功为零，即得虚功原理。

$\large{2. 变分原理视角}$

虚功原理可视为变分原理的特例，平衡态对应作用量的极值条件（静力学中为势能极小）。

$\huge{五、应用实例}$

$\large{例1：杠杆平衡}$

设杠杆支点位于原点，两端受力 $F_1$ 和 $F_2$，虚位移为 $\delta \theta$，则虚功方程为：$F_1 \cdot (l_1 \delta \theta) - F_2 \cdot (l_2 \delta \theta) = 0 \implies F_1 l_1 = F_2 l_2$

$\large{例2：滑轮系统}$

考虑质量 $m_1, m_2$ 通过滑轮连接，虚位移为 $\delta y$，平衡时：$(m_1 g - m_2 g) \delta y = 0 \implies m_1 = m_2$

$\huge{六、拓展与讨论}$

$\large{1. 动力学扩展——达朗贝尔原理}$

引入惯性力 $-\mathbf{\dot{p}}_i$，虚功原理可推广至动力学：$\sum_{i} (\mathbf{F}_i - \mathbf{\dot{p}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0$此为分析动力学的基础。

$\large{2. 与拉格朗日方程的联系}$

虚功原理结合达朗贝尔原理可导出拉格朗日方程：$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0$

$\large{3. 局限性}$

仅适用于理想约束系统。

需假设虚位移为线性小量，大变形问题需其他方法。

虚功原理：完

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