物理 [论坛资料室][分析力学]约束与广义坐标
那我们从最基本的开始吧～
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$\Huge{约束与广义坐标}$
$\Large{Ⅰ.约束的定义与分类}$
约束：限制力学系统运动的几何或运动学条件，通常以数学方程表示。
分类：1. 完整约束（Holonomic Constraints）： 仅依赖于系统的位置和时间，形式为 $f(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots, t) = 0$。例如：单摆的杆长约束 $x^2 + y^2 = l^2$，或滑块在固定轨道上的运动。
2. 非完整约束（Nonholonomic Constraints）： 涉及速度或不可积的微分方程，形式为 $f(\mathbf{r}_i, \dot{\mathbf{r}}_i, t) = 0$或不等式。 例如：冰刀只能沿刀刃方向滑动（速度方向约束），或纯滚动条件（无滑动）。
3. 定常约束（Scleronomic）：不显含时间，如固定长度的摆。
4. 非定常约束（Rheonomic）：显含时间，如摆长随时间变化的单摆。
$\Large{Ⅱ.自由度与广义坐标}$
1.自由度（Degrees of Freedom）：描述系统位形所需的最小独立变量数。
对于 $N$个质点的系统，受 $k$ 个完整约束，自由度为 $3N - k$（三维）或 $2N - k$（二维）。
2.广义坐标（Generalized Coordinates）：
定义：一组独立参数 $\{ q_1, q_2,\dots,q_n \}$，能够唯一确定系统的位形。特点：不唯一，可灵活选择（如角度、弧长），旨在简化问题。
示例：平面单摆：用角度 $\theta$ 替代 $(x, y)$。
刚体运动：质心坐标+欧拉角（6个自由度）。
$\Large{Ⅲ. 完整约束下的系统处理}$
消除冗余变量：通过广义坐标减少变量数，将约束隐含在坐标选择中。
拉格朗日力学：用广义坐标 $q_i$和广义速度 $\dot{q}_i$ 构建拉格朗日函数 $L = T - V$。（具体敬请期待"拉格朗日方程"）
拉格朗日方程：$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$，自动处理约束力。
$\Large{Ⅳ. 非完整约束的特殊处理}$
不可积微分约束：无法通过积分转化为完整约束，自由度不减少。
解决方法：拉格朗日乘子法：引入乘子 $\lambda_j$处理约束，方程扩展为：$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = \sum_j \lambda_j \frac{\partial f_j}{\partial q_i}.$
Appell方程或非完整力学：专门处理含速度约束的系统。
$\Large{Ⅴ. 示例分析}$
1.双摆系统：约束：两质点由刚性杆连接，每杆限制一个距离。
广义坐标：两角度 $\theta_1, \theta_2$（自由度=2）。
2.刚体三维运动： 约束：所有质点间距固定（完整约束）。
广义坐标：质心坐标 $(x, y, z)$+ 欧拉角 $(\alpha, \beta, \gamma)$（自由度=6）。
3.纯滚动圆盘：约束：接触点速度为零（非完整），自由度仍为3（平面位置+转角）。
$\Large{Ⅵ. 虚位移与达朗贝尔原理}$（具体敬请期待"虚功原理"）
1.虚位移：满足瞬时约束的假想位移，无需考虑时间。
2.达朗贝尔原理：结合虚功原理导出动力学平衡，形式为：$\sum_i (\mathbf{F}_i - m_i \ddot{\mathbf{r}}_i) \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0.$
3.广义力的引入：将实际力投影到广义坐标上，简化方程。
$\Large{Ⅶ. 位形空间与流形}$
完整约束系统被限制在位形空间的子流形上，广义坐标是该流形的局部坐标系。
例如：球面上质点的运动对应二维流形（经度、纬度）。
$\Large{Ⅷ. 约束力的处理}$
1.理想约束：约束力虚功为零（如光滑接触），拉格朗日方程中无需显式考虑。
2.非理想约束：需通过乘子或额外项引入（如摩擦力）。
$\Large{9. 历史与应用}$（悄悄利用一下AI）
拉格朗日的贡献：引入广义坐标，将牛顿力学转化为更普适的分析力学形式。
优势：避免复杂约束力计算，适用于多体系统、刚体动力学及连续介质。
约束与广义坐标：完
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