物理

[论坛资料室][自由基的学术论坛]流形体素化：卷一

在$\text{Minecraft}$中，地形都由方块构成。也就是说，$\text{Minecraft}$的世界把光滑的地形变成了小方体的集合。这种做法在数学上称之为体素化（$\text{Voxlization}$）。

体素化现在主要应用于机器学习中的生成式对抗网络（$\text{GAN}$）和医学上的$\text{CT}$和$\text{MRI}$技术。二十世纪六十年代是体素化最初被提出的时间，当时计算机图形科学刚起步不久。二十年后科学家就尝试把场进行体素化。于是我就思考，对于一个嵌入流形，或更广泛的，$\text{Current}$理论，是否也存在相应的体素化？当体素直径趋于无穷小，体素覆盖是否会收敛到原流形？流形上的场又在体素化下有何特性？

1.基本的体素化方法与定理

现在主流的体素化方法是在三维空间中嵌入整点格，并进行相交判定。基于此原理，我们推广到流形上：

对于一个$n$维流形$M\subset\mathbb{R}^{n + 1}$，其体素化可以通过$\mathbb{Z}^{n + 1}$嵌入到$\mathbb{R}^{n + 1}$生成高维格，并判定方体与$M$是否相交来实现。据此可以构造$M$的体素覆盖集：

$$\mathcal{Q}(\epsilon)=\bigcup_{\substack{k\in\mathbb{Z}^{n + 1}\\M\cap Q(k)\neq\varnothing}} Q(\epsilon,k)$$

并运算的第一个条件控制$\mathbb{Z}^{n+1}$的嵌入，第二个条件则是相交条件。$Q(k)$是格点$k$对应的$(n + 1)$维小方体：

$$Q(\epsilon,k)=\prod_{i = 1}^{n + 1}\left[\epsilon(k_i - \frac{1}{2}),\epsilon(k_i + \frac{1}{2})\right]$$

显然，$\epsilon$是控制精度的参数。同时，$M\subseteq \mathcal{Q}(\epsilon)$。至于$\mathcal{Q}(\epsilon)$是否是流形，以及它的维数我们一会再谈。

下面我们搬出第一个定理：

$\text{Theorem}\,1$     当$\epsilon\rightarrow 0$，$\mathcal{Q}(\epsilon)$与$M$的$\text{Hausdorff}$距离收敛到$0$。即：

$$d_H\left(\lim_{\epsilon\to 0}\mathcal{Q}(\epsilon),M\right)=0$$

进一步的，当$\epsilon\to 0$时，$\mathcal{Q}(\epsilon)=\overline M$。

$\text{Proof}$：

由$M\subseteq \mathcal{Q}(\epsilon)$，对于任意$p_0\in M$，存在$q\in \mathcal{Q}(\epsilon)$使得$p_0=q$，故对于任意$p\in M$，$\|p-q\|$下界为$0$。则其在$\mathcal{Q}(\epsilon)$内取上界也为$0$。故$\text{Hausdorff}$距离退化为：

因此，$\text{Hausdorff}$距离退化为：

$$d_H(\mathcal{Q}(\epsilon),M)=\sup_{q \in \mathcal{Q}(\epsilon)} \inf_{p \in M} \|q-p\|$$

由定义，对于任意$q_0\in \mathcal{Q}(\epsilon)$，存在$k^{(0)}\in\mathbb{Z}^{n+1}$，使得$q_0\in Q(\epsilon,k^{(0)})$。同时，考虑任意$p_0\in Q(\epsilon,k^{(0)})\cap M\subseteq M$，因为$p_0$，$q_0$都在$Q(k^{(0)})$内，则对于任意$q_0\in \mathcal{Q}(\epsilon)$，有：

$$\inf_{p \in M} \|q-p\|\leq\|q_0-p_0\|\leq\text{diam}(Q(\epsilon,k^{(0)}))=\epsilon\sqrt{n+1}$$

所以有：

$$\sup_{q \in \mathcal{Q}(\epsilon)} \inf_{p \in M} \|q-p\|\leq\epsilon\sqrt{n+1}$$

当$\epsilon\to 0$时，$\epsilon\sqrt{n+1}\to 0$，故

$$d_H\left(\lim_{\epsilon\to 0}\mathcal{Q}(\epsilon),M\right)=0$$

对于该命题的推论，我们引入一个有关$\text{Hausdorff}$距离的引理：

$\text{Lemma\,1}$     对于集合$A$，$B$满足

$$d_H(A,B)=0$$

若$B$是闭集，则有$\overline A=B$。

$\text{Proof}$：由条件，对于任意$a\in A$，

$$\inf_{b\in B}\|a-b\|=0$$

立即得到$a\in\overline B=B$。故$A\subseteq B$。同理得$B\subseteq \overline{A}$。

由$A\subseteq B$，得$\overline{A}\subseteq\overline{B}=B$。又有$B\subseteq\overline{A}$，得$\overline{A}=B$。

$\text{Q.E.D}$

易证$\mathcal{Q}(\epsilon)$是闭集，$M$与$\epsilon$无关。应用$\text{Lemma\,1}$，立即得到，当$\epsilon\to 0$时，$\mathcal{Q}(\epsilon)=\overline M$。

$\text{Q.E.D}$