物理

[论坛资料室]最速降线

是不是和什么最小作用能有关的那个？

之前在B站乱刷，看到过视频

有个地方写错啦 换元是令一阶导为cot（θ/2）微分方程我写了一遍结果没错

以下是一些小菜观看时候的建议 老哥好强mol一下（）：

1 感觉不用latex观感不是很好 学术帖用latex看着比较舒服（很显然我也不会♿）

2 内容看着有点单薄（小声） 可以考虑多加一些东西（比如用牛顿光学证之类的）

帮你用LaTeX写了下，把@菜源的过程也加上了

引入轨道微元变量$ds和速度v(矢量)，写出时间表达式：T=\int_B^A\frac{ds}{v}$

转化函数，能量守恒以及弧长公式

$mgy=\frac{1}{2}mv^2$→$v=\sqrt{2gy}$

$ds=\sqrt{1+(y')^2}dx$

代入得$T=\int_{x_1}^{x_2}\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}dx$

感觉欧拉拉格朗日方程对泛函取极值的条件

$\frac{d}{dx}\left(\frac{∂F}{∂y'}\right)-\frac{∂F}{∂y}=0$

定义函数$F(y, y')=\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2gy}}$

得微分方程$y(1+(y')^2)=Const$

令$y'=\cot\frac{θ}{2}$

代入：$y·(1+\cot^2\frac{θ}{2})=Const$

$∴y=C·\sin^2\frac{θ}{2}=\frac{C}{2}(1-\cosθ)$

∴$dy=C·\sin\frac{θ}{2}\cos\frac{θ}{2}dθ$

又$dy=\cot\frac{θ}{2}dx$

$∴dx=C·\sin^2\frac{θ}{2}dθ=\frac{C}{2}(1-\cosθ)dθ$

$x=\frac{C}{2}(θ-\sinθ)$

则$y=\frac{C}{2}(1-\cosθ)$

显然为摆线方程，求解完毕