不定积分的分部积分法

一、核心思想与公式推导

分部积分法是处理乘积函数积分的重要工具，其核心思想是将复杂的乘积积分转化为两个部分的组合：一个可直接求导的部分和一个更简化的积分。  

由乘积法则（导数的乘法规则）逆向推导而来：  

$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

对两边积分得：  

$u(x)v(x) = \int u'(x)v(x) \, dx + \int u(x)v'(x) \, dx$

移项后得到分部积分公式：  

$\int u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \, dx$

简记为：  

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

二、操作步骤

1.选择$ u $和 $dv $：  

   根据“反对幂指三”优先级选择$ u $（优先级由高到低）：  

反三角函数（如 $\arcsin x$）  

对数函数（如 $\ln x$）  

幂函数（如 $x^n$）  

指数函数（如 $e^x$）  

三角函数（如 $\sin x$）  

原则：  

选择 $ u $后，剩余部分为 $ dv $，需保证 $ dv $ 容易积分得到$ v $。  

若选择不当，可能导致积分更复杂，需重新选择。

2. 计算 $du$ 和 $ v $：  

对 $ u $ 求导得到 $ du $。  

对$ dv $ 积分得到 $ v $。

3. 代入公式并简化：  

将 $ uv - \int v \, du $中的新积分部分尽可能简化，可能需要多次应用分部积分或其他方法（如换元法）。

三、经典例题

例题1：基本应用（多项式 × 指数函数）

求积分：  $\int x e^x \, dx$

设$ u = x $ → $ du = dx $；  

   $ dv = e^x dx $ → $v = e^x $。  

代入分部积分公式：  

$   \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx$

计算剩余积分：  

$   \int e^x \, dx = e^x + C$

  $\int x e^x \, dx$   =$   x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C$

验证：  对结果求导 

$\frac{d}{dx} \left[ e^x (x - 1) \right] = e^x (x - 1) + e^x = x e^x$

与被积函数一致，积分正确。

例题2：多次分部积分（多项式 × 三角函数）

求积分：  $\int x^2 \sin x \, dx$

设 $ u = x^2$ ， $dv = \sin x \, dx $ → $du = 2x \, dx $， $v = -\cos x $。  

代入公式：  $   \int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x \, dx$

处理  $\int 2x \cos x \, dx $：  

   设 $u = 2x$ , $dv = \cos x \, dx$  →  $du = 2 \, dx $， $v = \sin x$ 。  

代入公式：  

$   \int 2x \cos x \, dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x \, dx = 2x \sin x + 2 \cos x + C$

 $\int x^2 \sin x \, dx$    =$   -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C$ 

例题3：循环积分（指数 × 三角函数）

求积分：  $\int e^x \sin x \, dx$

设 $ u = \sin x $，$dv = e^x dx $ → $ du = \cos x \, dx $，$ v = e^x $。  

代入公式：  $   \int e^x \sin x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$

处理 $\int e^x \cos x \, dx $  

设$u = \cos x $，$dv = e^x dx $→ $ du = -\sin x \, dx $，$ v = e^x $。  

代入公式：  $   \int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx$

令原积分为 $I $，则：  

$   I = e^x \sin x - \left( e^x \cos x + I \right)$

$   2I = e^x (\sin x - \cos x) \quad \Rightarrow \quad I = \frac{e^x}{2} (\sin x - \cos x) + C$

四、常见错误

1. 错误选择 $ u $ 和 $dv $：  

   例如，对 $\int x \ln x \, dx$，若选 $ u = x $，$dv = \ln x \, dx $，则 $ v $难以求出。正确选择应为 $ u = \ln x $，$ dv = x \, dx $。

2. 忽略符号与系数：  

   在多次分部积分中，需特别注意正负号与系数的传递，避免累积错误。

3. 未简化中间结果：  

   每次分部积分后需合并同类项或化简表达式，防止后续步骤复杂化。

五、积分技巧

1. 表格法（快速分部积分）：  

   对需多次分部积分的 $ \int x^n e^{ax} \, dx $，可通过表格法逐次求导和积分，快速写出结果。

2. 结合换元法使用：  

   例如，对 $\int e^{\sqrt{x}} \, dx $，先令 $ t = \sqrt{x} $，再用分部积分处理 $ \int t e^t \, dt $。

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