物理

数竞入门定理公式总结【代数&数论篇】

这次是大号整理的，之前小号的几何传送门是这个(超链接试了一下，结果不太行，就直接放二维码了( ´∀｀)

4.12将后整理的组合篇也放进来辣～

组合已整理好，其他的以后再说( ´∀｀)

说真的一整理发现代数和数论也就那么多( ´∀｀)

难道我少整理了？不会吧

评论区的更正已挪到帖子里辣，不用看了( ´∀｀)

【正片开始】

代数部分：

1. 多项式与方程

韦达定理（三次方程）：       $x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}$,       $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{c}{a}$,       $x_1x_2x_3 = -\dfrac{d}{a}$

有理根定理：若$\dfrac{p}{q}$是方程$a_nx^n + \cdots + a_0 = 0$的有理根，则$p \mid a_0$且$q \mid a_n$     

因式定理：若$f(c) = 0$，则$(x - c)$是$f(x)$的因式

 2. 不等式与极值

柯西不等式：$(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2$

排序不等式：对有序数列$a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$和$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$，有       $\sum a_i b_{n-i+1} \leq \sum a_i b_j \leq \sum a_i b_i$

3. 高次多项式技巧

轮换对称式分解：       $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

配方法扩展：$x^4 + 4y^4 = (x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)$

4. 数列与级数

平方和公式：$\sum_{k=1}^n k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

立方和公式：$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2$

5. 函数变换

平移变换：$y = f(x - h) + k$ 的图像由$y = f(x)$向右平移$h$单位，向上平移$k$单位

数论部分：

1. 同余与模运算

费马小定理：若$p$为质数且$p \nmid a$，则$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

欧拉定理：若$\gcd(a, m) = 1$，则$a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$，其中$\phi(m)$为欧拉函数

模逆元：若$\gcd(a, m) = 1$，则存在$b$使得$ab \equiv 1 \pmod{m}$

2. 方程与定理

贝祖定理：方程$ax + by = c$有解当且仅当$\gcd(a, b) \mid c$

中国剩余定理：若$m_1, m_2$互质，则同余方程组       $\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod{m_2} \end{cases}$       有唯一解模$m_1m_2$

3. 质数与分解

算术基本定理（已更正）：  $n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}$，其中$p_i$为素数，$k_i \in \mathbb{N}^*$，且分解唯一。

威尔逊定理：$p$为质数 $\iff (p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

4. 特殊数的性质

完全平方数模性质：       $n^2 \equiv 0, 1 \pmod{4}$；       $n^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{8}$

高次幂模周期性：利用费马小定理化简$a^k \pmod{p}$

其实代数和数论的定理公式不是特多，就放一起了( ´∀｀)

The end