物理

数竞入门定理公式总结【几何篇】

这是一份数竞的定理公式总结，主要对标数学预备轮，涵盖大部分内容(已备份至ink

目前比较粗糙，应该能看( ´∀｀)

(其实有些latex是ds帮我做的( ´∀｀)

预计下一个是代数篇

 一、三角形

1. 基础定理

内角和定理：$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

外角定理：$\angle A_{\text{外}} = \angle B + \angle C$

勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$（直角三角形）

特殊直角三角形比例： $1:\sqrt{3}:2$（30°-60°-90°）==========    $1:1:\sqrt{2}$（45°-45°-90°) 

2. 全等与相似

全等判定（SSS, SAS, ASA, AAS, HL）

相似判定（AA, SAS, SSS）

射影定理：$AD^2 = BD \cdot DC$（$AD$为斜边上的高）

相似比性质：面积比为相似比平方 $\frac{S_1}{S_2} = k^2$

3. 重要定理

中线定理：$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2BD^2$（$D$为$BC$中点）

中位线定理：中位线平行于第三边且为其一半

内角平分线定理：$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$（$D$在$BC$上）

外角平分线定理：$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$（$D$在$BC$延长线上）

斯特瓦尔特定理：$AD^2 = \frac{b^2m + c^2n}{m+n} - mn$（$D$分$BC$为$m:n$）

梅涅劳斯定理：共线条件 $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

塞瓦定理：共点条件 $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

4. 三角形五心

重心：中线交点，坐标公式 $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

外心：垂直平分线交点，外接圆圆心

垂心：高线交点

内心：角平分线交点，内切圆圆心

旁心：旁切圆圆心

二、四边形

平行四边形：对边平行且相等，对角线互相平分

矩形：对角线相等     - 菱形：对角线垂直且平分对角

正方形：兼具矩形和菱形性质

梯形：中位线定理：中位线长 $= \frac{1}{2}(上底 + 下底)$

圆内接四边形：

托勒密定理：$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$

对角互补定理：$\angle A + \angle C = 180^\circ$

三、圆

1. 基本性质

圆周角定理：$\angle A = \frac{1}{2} \angle O$（圆心角为圆周角2倍）

直径性质：直径所对圆周角为$90^\circ$

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦

2.切线与弦

切线性质：切线与半径垂直

切线长定理：外点到圆的两切线长相等

弦切角定理：弦切角等于所夹弧的圆周角

3. 圆幂定理

相交弦定理：$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

切割线定理：$PA^2 = PC \cdot PD$

4. 四点共圆条件：对角互补，外角等于内对角，同侧视角相等

四、面积公式与变换

1. 面积公式：

三角形：$S = \frac{1}{2}ah$，$S = \frac{1}{2}ab \sin C$

海伦公式：$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（$s = \frac{a+b+c}{2}$）

等高模型：面积比等于底边比

2. 几何变换

对称、平移、旋转（构造辅助线常用）

坐标系两点距离：$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

中点公式：$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

接下来也有可能在大号更@^Alpha青^#EPz，或者都在这里( ´∀｀)

The end