[论坛资料室][自由基的学术论坛]截顶椭圆抛物面在斜面上的运动系统：(1)基本微分几何数据

最近在学校发现我的课桌是歪的（为什么会有这种课桌啊啊啊），很好玩，我会把各种东西放在这个“天然”斜面上滚动，然后观察运动轨迹。

我把笔头（约等于一个截顶椭圆抛物面壳）拆下来，放在斜面上滚动，居然走出了一条混沌的摆线。

更神奇的是，在小概率情况下，它会走出一条周期路径！这是一个非常有意思的性质。

所以我们把它模型化，就成了本次学术话题：

截顶椭圆抛物面在斜面上的运动系统。

由于推导需要，我们不考虑斜面，而是把斜面做一个变换，让重力斜过来，考虑刚体在平面上的运动。

给定一个截顶椭圆抛物面（不计厚度，且为刚体）$\mathcal{E}$，其密度均匀，质量为$m$。把$\mathcal{E}$平放在某一平面上，使其旋转轴$C_\infty$与平面主方向夹角为$\alpha$。对$\mathcal{E}$施加一个作用在质心$\mathcal{E}_{\text{cm}}$，与$C_\infty$夹角为$\theta$，大小为$mg$的力。$\mathcal{E}$在平面上做纯滚动。试求：

（1）$\mathcal{E}_{\text{cm}}$运动的$\text{Hamilton}$方程和$\text{Euler-Lagrange}$方程，并判断这两个方程是否有周期解，或系统是否混沌。

（2）$\mathcal{E}$上任意一点$p$运动的$\text{Hamilton}$方程和$\text{Euler-Lagrange}$方程，并判断这两个方程是否有周期解，或系统是否混沌。

研究这个课题，我们首先要得到这个曲面的基本微分几何数据。

1.参数方程

给定参数曲面$\mathcal{E}$的参数方程为：

$$x = ru, \quad y = rv, \quad z = -t(u^2 + v^2)$$

其中$t$大于$0$，且$-t \leq z \leq h < 0$。

该参数方程可以生成一个我们需要的截顶椭圆抛物面。

2.对称性

$\mathcal{E}$不是很复杂的图形，它的对称元素只有一条$\infty$重轴（$z$轴）和所有过$z$轴的镜面$\sigma$。不难写出它的对称群：

$$\mathfrak{S}=\{C_\infty\}\cap\{\sigma:Ax+By=0\mid A,B\in\mathbb{R}\}$$

2.度量张量

曲面的切向量为：

$$\vec{e_u}= \partial_u\vec{r}=\partial_u(ru, rv, -t(u^2+v^2))=(r, 0, -2tu)$$

$$\vec{e_v}= \partial_v\vec{r}=\partial_v(ru, rv, -t(u^2+v^2))=(0, r, -2tv)$$

于是，我们可以计算$\mathcal{E}$的度量张量$\mathcal{G}$的协变分量：

$$g_{11} = \vec{e_u}\cdot \vec{e_u}=r^2+4t^2 u^2$$

$$g_{12} = g_{21} = \vec{e_u} \cdot \vec{e_v} = 4t^2 uv$$

$$g_{22} = \vec{e_v} \cdot \vec{e_v} = r^2 + 4t^2 v^2$$

因此$\mathcal{G}$的协变分量行列式为：

$$\det(g_{\mu\nu}) = g_{11} g_{22} - g_{12}^2 =r^4 + 4r^2 t^2 (u^2 + v^2)$$

3.形状张量

另一个必要的基础数据是形状张量$\mathcal{B}$。

$\mathcal{E}$的单位法向量为：

$$\hat{n} = \frac{\vec{e_u}\times\vec{e_v}}{\|\vec{e_u}\times\vec{e_v}\|}=\frac{(2tru, 2trv, r^2)}{\sqrt{r^2(4t^2(u^2 + v^2) + r^2)}}$$

令$\lambda=4t^2(u^2 + v^2) + r^2$，则

$$\hat{n}=\frac{(2tru, 2trv, r^2)}{r\sqrt{\lambda}}$$

同时，计算基的偏导数：

$$\partial_u\vec{e_u}=\partial_v\vec{e_v}=(0, 0, -2t)$$

$$\partial_u\vec{e_v}=\partial_v\vec{e_u}=0$$

因此，$\mathcal{B}$的协变分量为：

$$b_{11} = b_{22} = \hat{n} \cdot \partial_u\vec{e_u} = -\frac{2tr}{\sqrt{\lambda}}$$

$$b_{12} = b_{21} = \hat{n} \cdot \partial_u\vec{e_v}=0$$

$$\det(b_{\mu\nu})=\frac{4t^2r^2}{\lambda}$$

4.曲率

有了度量张量$\mathcal{G}$和形状张量$\mathcal{B}$，我们就可以得到$\mathcal{E}$的各种曲率。而这是动力学计算所必要的。

我们从平均曲率开始：

众所周知，平均曲率$H$是$\mathcal{B}$混变分量矩阵的迹的一半，也就是

$$H=\frac{1}{2}\text{Tr}(b^{\mu}_{\,\,\nu})=\frac{1}{2}\text{Tr}(g^{\mu\sigma}b_{\sigma\nu})$$

$$=\frac{1}{2}(g^{11}b_{11}+g^{22}b_{22})$$

$\mathcal{G}$只有四个分量，求逆变分量$g^{\mu\sigma}$，只需求协变分量矩阵的逆即可。这里我们采用伴随算法：

$$g^{11}=\frac{\text{adj}(g_{\mu\nu})_{11}}{\det(g_{\mu\nu})}=\frac{-r^2+t^24v^2}{r^2\lambda}$$

$$g^{22}=\frac{\text{adj}(g_{\mu\nu})_{22}}{\det(g_{\mu\nu})}=\frac{-r^2+t^24u^2}{r^2\lambda}$$

则$b^{\mu}_{\,\,\nu}$可以求出：

$$b^1_{\,\,1}=\frac{-2tr^2-8t^3v^2}{r\lambda^{\frac{3}{2}}}$$

$$b^2_{\,\,2}=\frac{-2tr^2-8t^3u^2}{r\lambda^{\frac{3}{2}}}$$

合并，即可得到$H$：

$$H=-\frac{2tr^2+4t^3\rho^2}{r\lambda^{\frac{3}{2}}}$$

其中$\rho^2=u^2+v^2$，$\lambda=4t^2(u^2 + v^2) + r^2$。

然后计算$\text{Gauss}$曲率。$\text{Gauss}$曲率$K$是$\mathcal{G}$和$\mathcal{B}$协变分量矩阵行列式的比值：

$$K=\frac{\det(b_{\mu\nu})}{\det(g_{\mu\nu})}=\frac{4t^2}{\lambda^2}$$

5.面积

我们最后一个要计算的量是面积。

根据定义可得参数区域：

$$1\leq u^2 + v^2 \leq -\frac{h}{t}$$

即环形区域：

$$\sqrt{-\frac{h}{t}} \leq \rho \leq 1$$

而面积为：

$$S=\int_{\mathcal{E}}\sqrt{\det(g_{\mu\nu})}dudv=\int_{\mathcal{E}}dS$$

$dS$是面积微元：

$$dS= \sqrt{\det(g_{\mu\nu})}dudv = r\sqrt{r^2 + 4t^2\rho^2}dudv$$

令：

$$u = \rho\cos\theta, \quad v = \rho\sin\theta$$

明显地，这是极坐标变换。则雅$\text{Jacobi}$行列式：

$$\det(J)= \rho$$

且积分区域为：

$$\rho \in \left[\sqrt{-\frac{h}{t}}, 1\right], \quad \theta \in [0, 2\pi]$$

由积分术法（Oλοκλήρωση Μαγεία）原典（卷三）的记载，我们有$dudv=\det(J)d\rho d\theta$，则面积积分化为：

$$S = \int_ {\mathcal{E}}r\sqrt{r^2 + 4t^2\rho^2} \rho d\rho d\theta$$

先对$θ$积分：

$$S = r \int_{\sqrt{-\frac{h}{t}}}^1 \left( \int_0^{2\pi} d\theta \right) \rho\sqrt{r^2 + 4t^2\rho^2} d\rho$$

$$= 2\pi r \int_{\sqrt{-\frac{h}{t}}}^1 \rho\sqrt{r^2 + 4t^2\rho^2} d\rho$$

令：

$$w = r^2 + 4t^2\rho^2$$

$$dw = 8t^2\rho d\rho$$

$$\rho d\rho = \frac{dw}{8t^2}$$

则有积分限变换：

$$\rho = \sqrt{-\frac{h}{t}} \rightarrow w = r^2 - 4th$$

$$\rho = 1 \rightarrow w = r^2 + 4t^2$$

积分得：

$$\int \rho\sqrt{r^2 + 4t^2\rho^2} d\rho = \frac{1}{8t^2} \int w^{\frac{1}{2}} dw = \frac{1}{12t^2} w^{\frac{3}{2}}$$

则得面积：

$$S = \frac{\pi r}{6t^2} \left[ (r^2 + 4t^2)^{\frac{3}{2}} - (r^2 - 4th)^{\frac{3}{2}} \right]$$

下一章中，我们将计算$\mathcal{E}$的质心$\mathcal{E}_\text{cm}$，惯性张量$\mathcal{I}$，以及体系的$\text{Hamilton}$量$\mathcal{H}$，$\text{Lagrange}$量$\mathcal{L}$，并构建体系的$\text{Hamilton}$系统和$\text{Euler-Lagrange}$系统。