物理

有亿点点烧脑的数学科普

证明:

($\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{1×3×5}$+$\frac{1}{1×3×5×7}$+$\frac{1}{……}$)+$\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{……}}}$=$\frac{\sqrt{2πe}}{2}$

Asiaray给你们一周的思考时间，题目没有抄错。

证明:一小步，把式子分为两个部分，即

($\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{1×3×5}$+$\frac{1}{1×3×5×7}$+……)①

和$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{……}}}}$②

先处理①式，先将这个无穷级数生成函数:($\frac{x}{1}$+$\frac{x}{1×3}$+$\frac{x}{1×3×5}$+$\frac{x}{1×3×5×7}$+……$)

求导:得$\frac{1}{1}$+$x$($\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{1×3×5}$+$\frac{1}{1×3×5×7}$+……$)

发现右边是①式，设$y=$($\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{1×3×5}$+$\frac{1}{1×3×5×7}$+……$)

则有微分方程:$y=1+xy$，注意y是函数。

$y=1+xy$

$y-xy=1$

$\frac{dy}{dx}=xy$

$\frac{dy}{y}=xdx$

$\int\frac{1}{y}dy=\int$ $xdx$

$∵Ln(y)=\frac{1}{y}，(x^2)=2x$

则$Ln(y)=\frac{x^2}{2}$

$e^Ln(y)=e^\frac{x^2}{2}$

$y=e^\frac{1}{2}x^2$

$y=C(x)e^\frac{1}{2}x^2$

$y=xC(x)e^\frac{1}{2}x^2+C(x)e^\frac{1}{2}x^2$

$代入x=1，则C(x)e^\frac{1}{2}x^2=1$

$C(x)=\int\space e^\frac{1}{2}x^2dx

代入，则$y=e^\frac{1}{2}x^2\int$ $e^\frac{1}{2}x^2$

$y=e^\frac{1}{2}x^2\int^{x}_{0}e^-\frac{t^2}{2}dt$

$\int^{∞}_{-∞}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt=\sqrt{2π}$

$\int^{∞}_{0}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt=\sqrt{\frac{π}{2}}$

$\sqrt{\frac{π}{2}}=\int^{1}_{0}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt+\int^{∞}_{1}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt$

$e^\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}=e^\frac{1}{2}\int^{1}_{0}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt+\int^{∞}_{1}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt$，

$e^\frac{1}{2}\int^{∞}_{1}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt=e^\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}-e^\frac{1}{2}\int^{∞}_{0}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt$，

$g'=x(e^\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}}-e^\frac{1}{2}\int^{∞}_{0}\frac{1}{2}e^{-t^2}dt)+1$，

$g'=xg+1$，

$g''=xg'+1$，

$g'''=xg''+1$，

$g''''=xg'''+1$，

……

代入则有g'=$\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{x+\frac{3}{……}}}}$？？