物理

[论坛资料室]闲证定理——n维球体体积公式

衷心感谢@不活性的自由基对三个性质的证明，他让这个帖子更加严谨了一些

传送门：

以下是正文部分：

首先，$我们设半径为r的n维球体体积为V_n (r)$，根据强大的注意力就可以注意到它满足以下三个性质

$(i)V_n (r)=C_n r^n$

$(ii)V_{n+1} (r)=\int_{-r}^{r}V_n (\sqrt{r^2 -x^2})dx$

$(iii)V_1 (r)=2r$

$其中C_n 仅与n有关$

我们在第二条性质中使用第一条性质，就得到

$C_{n+1}r^{n+1}=\int_{-r}^r C_n (\sqrt{r^2 -x^2})^n dx$

$换元，令x=r\sin\theta ，整理得$

$C_{n+1}=C_n \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{n+1} \theta d\theta $

$令I_n =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos ^n xdx，得$

$C_{n+1}=2I_{n+1}C_n$

警告，接下来会出现许多作者瞎写的骚操作，如果不想要被精神污染，请尽快退出

$我们首先来处理I_n$

查表得

$I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$

$I_0=\frac{\pi}{2}$

即有

$I_{2n}=\frac{2n-1}{2n}I_{2(n-1)}$

$令I_{2n}=J_n，得$

$J_n=\frac{2n-1}{2n}J_{n-1}$

$J_0=\frac{\pi}{2}$

即有

$J_n=\frac{(2n-1)\cdot(2n-3)\cdot\cdots\cdot 3\cdot 1}{(2n)\cdot(2n-2)\cdot\cdots\cdot 4\cdot 2}J_0=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}$

$其中!!表示的是双阶乘，定义为$

$n!!=n(n-2)!!$

$且定义1!!=1，2!!=2$

所以双阶乘就满足如下性质

$当n为正奇数时，有$

$n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4) \cdots 5\cdot 3\cdot 1$

$当n为正偶数时，有$

$n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4) \cdots 6\cdot 4\cdot 2$

即可以将双阶乘表示为

$(2n-1)!!=(2n-1)\cdot(2n-3)\cdot\cdots\cdot 3\cdot 1$

$(2n)!!=(2n)\cdot(2n-2)\cdot\cdots\cdot 4\cdot 2$

我们又注意到

$(2n)!!=2^n(n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot 2\cdot 1)=2^n n!$

$(2n-1)!!=\frac{2n\cdot(2n-1)\cdot\cdots\cdot 2\cdot 1}{(2n)\cdot(2n-2)\cdot\cdots\cdot 4\cdot 2}=\frac{(2n)!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{2^n n!}$

所以

$J_n=\frac{\frac{(2n)!}{2^n n!}}{2^n n!}\frac{\pi}{2}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\frac{\pi}{2}$

即

$I_{2n}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\frac{\pi}{2}$

所以

$I_n=\frac{\pi n!}{2^{n+1}(\frac{n}{2})!^2}$

接下来就是愉快的代回环节

回看上面的递推式，改写一下，就可以得到

$C_n=2I_n C_{n-1}$

代回得

$C_n=\frac{\pi n!}{2^{n+1}(\frac{n}{2})!^2}$

在第三条性质中使用第一条性质，就得到

$C_1 r=2r$

即

$C_1=2$

$令递推式中的n=1，得$

$C_1=2C_0$

所以

$C_0=1$

所以有

$C_n=C_0\prod_{i=1}^n \frac{\pi i!}{2^i (\frac{i}{2})!^2}=\prod_{i=1}^n \frac{\pi i!}{2^i (\frac{i}{2})!^2}$

但是，愉快到这儿，我就愉快不起来了

我不会化简啊啊啊！！！