张成、线性无关与基

定义 固定 $x_{1},\ldots,x_{n}\in M$。

(1) 如果映射 $X: R^{n}\to M$ 是满射，那么称该集合张成(span) $M$。

(2) 如果映射 $X: R^{n}\to M$ 是单射，那么称该集合在 $M$ 中是线性无关(linearly independent) 的。

(3) 如果 $X$ 同时是单射和满射，那么称该集合是 $M$ 的基(basis)。

你会在线性代数中认出这些术语。用方程来表达，这些定义正是你所预想的：

命题 设 $M$ 是一个左 $R$-模，$x_{1},\ldots,x_{n}\in M$ 是一个有序集合。

(1) 如果对每个 $y\in M$，存在一个集合 $a_{1},\ldots,a_{n}\in R$ 使得$$y=a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}，$$那么该集合张成 $M$。

(2) 如果方程$$0=a_{1} x_{1}+\cdots+a_{n} x_{n}$$仅有唯一解 $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=(0, \ldots, 0)$，那么该集合是线性无关的。

(3) 如果对任何 $y \in M$，方程$$y=a_1 x_1+\ldots+a_n x_n$$仅有唯一的解 $\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$，那么该集合是基。

证明：第一条是满射的定义。后一条结论成立，因为同态映射是单射当且仅当核是平凡的，而 $(0, \ldots, 0) \in R^{n}$ 是 $R^n$ 的加法单位元。最后一条是双射的定义。$$~\tag*{$\square$}$$

定义 如果存在某个整数 $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ 和一个满 $R$-模同态 $R^{n} \rightarrow M$，称一个模是有限生成的(finitely generated)。

这与群的情况类似。一个群 $G$ 是有限生成的当且仅当存在有限个元素 $g_{i}$ 使得所有其他元素都可以表示为 $g_{i}$ 和它们的逆元的乘积。同样地，如果存在有限个 $x_{i}$，使得 $M$ 的每个元素都可以通过 $x_{i}$ 的线性组合得到，那么 $M$ 是有限生成的。

例 并非所有的 $R$-模都承认基。这与向量空间不同。例如，若 $R=\mathbb{Z}$ 且 $M=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，则对于任何 $x\in M$，方程$$a x=0$$有许多解——$a$ 可以是 $n, 2n, \ldots$。

要点: 并非每个有限生成的 $R$-模都承认基。

向量空间与子空间

定义 如果 $R-{0}$ 在乘法下构成群，则称一个交换环是域(field)。

定义 设 $F$ 是一个域。$F$ 上的模称为 $F$ 上的向量空间(vector space)。

定义 设 $V$ 是一个向量空间。那么 $V$ 的一个子模称为 $V$ 的线性子空间(linear subspace)。

张成集大于无关集

以下是域与环的最重要区别之一：

定理 设 $F$ 是一个域，$M$ 是一个 $F$ 上的向量空间。如果 $v_{1}, \ldots, v_{n}$ 张成 $M$，而 $w_{1}, \ldots, w_{m}$ 是线性无关的，那么 $n \geqslant m$。

证明：设 $y_{1}, \ldots, y_{m}$ 是线性无关的，$v_{1}, \ldots, v_{n}$ 是张成的。若有必要，可以对 $v_{i}$ 重新排序，以使$$y_{1}=a_{1} v_{1}+\ldots+a_{n} v_{n}$$且 $a_{1} \neq 0$。于是 $y_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ 也张成 $M$，因为我们可以通过 $y_{1}$ 和 $v_{i}$ 的线性组合得到 $v_{1}$——只需将上述方程除以 $a_{1} \neq 0$ 并重新排列即可。

让 $M_{1} \subset M$ 是由 $y_{1}$ 生成的子模——即 $R \rightarrow M$ 的像，由 $1 \mapsto y_{1}$ 定义——并考虑商模$$M/M_{1}$$（可以证明这是一个 $R$-模——即，一个向量空间。）那么 $\overline{y_{2}}, \ldots, \overline{y_{m}}$ 仍然是线性无关的，因为它们的线性组合等于零当且仅当$$a_{1} y_{1}=a_{2} y_{2}+\ldots+a_{m} y_{m}$$对于某个 $a_{1} \in F$ 成立，而此类方程仅当所有 $a_{i}=0$ 时成立，因为假定 $y_{i}$ 是线性无关的。注意 $\overline{y_{1}}=0, \overline{v_{2}}, \ldots, \overline{v_{n}}$ 仍是张成的，因此 $\overline{v_{2}}, \ldots, \overline{v_{n}}$ 是张成的。所以我们有 $n-1$ 个向量张成 $M/M_{1}$，且其中有 $m-1$ 个线性无关的向量。

通过重复上述技巧，如果我们在一个向量空间中有 $m$ 个线性无关的元素且有 $n$ 个元素张成它，我们可以在商向量空间中得到 $m-k$ 个线性无关的元素和 $n-k$ 个张成它的元素。那么这些数哪个会先到 0 呢？如果 $n-k=0$ 先到零，那么我们位于一个由 $0$ 个元素张成的商向量空间——即零向量空间——因此我们必须得出 $m-k=0$，因为在零向量空间中没有线性无关的向量。在这种情况下，$m=n$。如果 $m-k$ 在 $n-k$ 之前到零，那么 $m \leqslant n$。$$~\tag*{$\square$}$$

维数

推论 如果 $M$ 是一个有限生成的向量空间，那么 $M$ 的任意两个基的元素数相同。

证明：如果 $\left\{v_{i}\right\}$ 和 $\left\{w_{i}\right\}$ 均是张成且线性无关的，我们有 $n \geqslant m$ 且 $m \geqslant n$。因此 $m=n$。$$~\tag*{$\square$}$$

定义 设 $V$ 是一个有限生成的 $F$-模——即有限生成的向量空间。称此类 $V$ 为有限维向量空间，并定义 $V$ 的维数(dimension)$$\dim_{F} V$$为 $V$ 的任意基中的元素数。

注 这是线性代数中最重要的事实：我们有维数的概念。人类花了几千年才理解什么是 $n$ 维空间，因此不要轻视这一概念！

例 $0$ 维向量空间是由平凡Abel群 $M={0}$ 给出的模。

推论 如果 $M$ 是一个有限生成的向量空间，那么任意线性无关集合 $w_{1}, \ldots, w_{m}$ 可以扩展为一个基——也就是说，我们可以找到 $w_{m+1}, \ldots, w_{n}$ 使得所得集合 $w_{1}, \ldots, w_{n}$ 同时线性无关且张成。

证明：由于 $M$ 是有限生成的，存在某个 $N$ 使得我们有一个满射 $F^{N} \rightarrow M$。因此，任意线性无关向量集的大小必须 $\leqslant N$。如果 $X_{m}: F^{m} \rightarrow M$ 是由 $w_{1}, \ldots, w_{m}$ 决定的映射，且 $X_{m}$ 不是满射，则选择一个不在 $\mathrm{im}\left(X_{m}\right)$ 中的元素 $w_{m+1}$。注意所得集合 $w_{1}, \ldots, w_{m+1}$ 仍然是线性无关的，因为如果$$a_{1} w_{1}+\ldots+a_{m+1} w_{m+1}=0$$则$$a_{1} w_{1}+\ldots+a_{m} w_{m}=-a_{m+1} w_{m+1}$$如果 $a_{m+1}=0$，根据 $w_{i}$ 的线性无关性，我们知道所有 $a_{i}=0$。另一方面，如果 $a_{m+1} \neq 0$，我们通过除法得出矛盾：$$\frac{a_{1}}{-a_{m+1}} w_{1}+\ldots+\frac{a_{m}}{-a_{m+1}} w_{m}=w_{m+1}$$左边在 $X_{m}$ 的像中，但 $w_{m+1}$ 被选择为不在其中。

因此我们有一个单射同态 $X_{m+1}: F^{m+1} \rightarrow M$。如果 $X_{m+1}$ 不是满射，我们重复上述论证。根据定理，$X_{m+k}$ 在某个 $m+k \leqslant N$ 处必须成为满射。让 $k$ 是 $X_{m+k}$ 首次成为满射的整数。根据上述论证，它仍然是单射，因此我们有一个由生成元 $w_{1}, \ldots, w_{m+k}$ 决定的基。$$~\tag*{$\square$}$$

若干推论

我们将要做什么？你以前已经研究过元素为实数的矩阵。你对它们进行了多种操作——相乘、相加，以及判断它们何时是可逆的。我声称几乎所有关于实数矩阵的操作都可以在任何域的矩阵上完成。

推论 任意有限生成的域 $F$ 上的模与 $F^{n}$ 对某个 $n$ 同构。

证明：从线性无关集合 0 开始扩展为基。一个基定义了从 $F^{n}$ 到你的模的同构。$$~\tag*{$\square$}$$

注 如果 $R$ 不是域，这一结论对于 $R$-模不成立——毕竟，任何有限Abel群都是一个 $\mathbb{Z}$-模，但任何自由 $\mathbb{Z}$-模要么是零模，要么是无限模。

推论 如果 $V^{\prime}\subset V$ 是子空间，$$\dim V^{\prime}=\dim V\quad\Leftrightarrow\quad V=V^{\prime}.$$

证明：一方向显然成立。对于另一方向，令 $y_{1},\ldots,y_{n}$ 是 $V^{\prime}$ 的基。由于这些向量是线性无关的，它们可以通过上述推论之一扩展为 $V$ 的基。但根据维数的定义，该基必须恰好有 $n$ 个元素——换句话说，$y_{i}$ 已经是一个基。$$~\tag*{$\square$}$$

推论 设 $V^{\prime} \subset V$ 是一个子空间。则有 $\dim V^{\prime}+\dim V/V^{\prime}=\dim V$。

证明：设 $v_{1}, \ldots, v_{\dim V^{\prime}}$ 是 $V^{\prime}$ 的基。设 $\overline{u_{1}}, \ldots, \overline{u_{\dim V/V^{\prime}}}$ 是 $V/V^{\prime}$ 的基。选择代表 $u_{i}$ 作为 $\overline{u_{i}}$，则集合$$v_{1}, \ldots, v_{\dim V^{\prime}}, u_{1}, \ldots, u_{\dim V/V^{\prime}}$$是 $V$ 的基。

它显然是张成的，因为对于每个 $a \in V$，$\overline{a}$ 是 $\overline{u_{i}}$ 的线性组合，因此 $a$ 位于某个线性组合的 $V^{\prime}$-轨道内。它也是线性无关的，因为如果$$0 = a_{1} v_{1} + \cdots + a_{\dim V^{\prime}} v_{\dim V^{\prime}} + b_{1} u_{1} + \cdots + b_{\dim V/V^{\prime}} u_{\dim V/V^{\prime}}$$那么$$\overline{0} = a_{1} \overline{v_{1}} + \cdots + a_{\dim V^{\prime}} \overline{v_{\dim V^{\prime}}} + b_{1} \overline{u_{1}} + \cdots + b_{\dim V/V^{\prime}} \overline{u_{\dim V/V^{\prime}}}$$因为 $\overline{v_{i}} = 0$，$a_{i}$ 项消失，因此我们得到一个等式，表示 $\overline{u_{i}}$ 的线性组合等于零。由于 $\overline{u_{i}}$ 是线性无关的，得出每个 $b_{i}$ 必须为零。原等式表明 $0 = \sum a_{i} v_{i}$，因此根据 $v_{i}$ 的线性无关性，所有 $a_{i}$ 也必须为零。$$~\tag*{$\square$}$$

推论(秩-零度定理) 设 $f: V \rightarrow W$ 是一个 $F$-模之间的映射，且假设 $V$ 是有限生成的。那么有 $\dim \ker f + \dim \mathrm{im} f = \dim V$。

证明：根据同态基本定理，我们知道存在一个群同构 $V/\ker f \cong \mathrm{im} f$。但这个同态映射也是一个 $F$-模映射，可以手工验证。因此 $\mathrm{im} f \cong V/\ker f$。$$~\tag*{$\square$}$$

推论(同构的判别准则) 设 $f: V \rightarrow W$ 是有限维向量空间之间的线性映射。那么 $f$ 是同构当且仅当 $f$ 是单射且 $\dim V = \dim W$。

证明：根据秩-零度定理，$f$ 的像的维数等于 $V$ 的维数，因为 $f$ 是单射。$$~\tag*{$\square$}$$

总结

从上述所有内容中得到的总结是维数概念的强大。无论你的域是 $\mathbb{R}$ 这样熟悉的，还是类似 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 这样陌生的；无论线性映射是熟悉的矩阵，还是像多项式函数的值这样的线性映射，我们都有一种强大的方法来研究线性映射。

行列式

我们从线性代数中得到的另一个强大工具是行列式的概念。行列式只需要一个关于乘以 $-1$（取加法逆元）、矩阵元素的乘法和加法的概念。因此我们应该能够定义任何系数在环 $R$ 上的矩阵的行列式。

事实证明，如果环 $R$ 不是交换的，有些公式可能不成立——因为乘法的顺序很重要——因此我们将限制自己使用交换环。

定义 设 $R$ 是一个交换环。一个 $k \times k$ 的矩阵(matrix) 是元素的集合$$A_{ij} \in R$$其中 $i \in 1, \ldots, k$，$j \in 1, \ldots, k$。我们用符号表示矩阵$$A = \left(A_{ij}\right).$$

例 一个 $3 \times 3$ 的 $R$ 上的矩阵可以用通常的方式表示：$$\begin{pmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\A_{21} & A_{22} & A_{23} \\A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{pmatrix}$$

定义 $R$ 中 $k \times k$ 矩阵的环(ring)，记作 $M_{k \times k}(R)$，其加法定义为$$\left(A_{i j}\right)+\left(B_{i j}\right)=\left(A_{i j}+B_{i j}\right)$$且乘法定义为$$\left(A_{i j}\right)\left(B_{i j}\right)=\left(\sum_{l=1}^k A_{i l} B_{l j}\right)$$即加法是逐项相加，而乘法中第 $i,j$ 项是 $B$ 的第 $j$ 列与 $A$ 的第 $i$ 行的配对。

定义(余子式矩阵) 设 $A$ 是一个 $k \times k$ 矩阵。$A$ 的第 $(i,j)$ 项的余子式矩阵(cofactor matrix) 是删除 $A$ 的第 $i$ 行和第 $j$ 列所得的矩阵。当 $A$ 是已知时，我们记作$$C_{i, j}$$表示由 $A$ 的第 $(i, j)$ 项余子式得到的 $(k-1) \times (k-1)$ 矩阵。

定义 $R$ 中 $1 \times 1$ 矩阵的行列式(determinant) 是矩阵的唯一元素 $A_{11}$。

递归定义：设 $A$ 是一个 $k \times k$ 矩阵。则 $A$ 的行列式定义为以下求和：$$\det A = A_{11} \det C_{1,1} - A_{21} \det C_{2,1} + \cdots + (-1)^{1+k} A_{k 1} \det C_{k, 1}。$$使用求和符号表示为：$$\det A := \sum_{i=1}^k (-1)^{i+1} A_{i 1} \det C_{i, 1}。$$这定义了一个函数$$\det: M_{k \times k}(R) \rightarrow R。$$

例 如果 $A$ 是一个 $2 \times 2$ 矩阵，$$\det(A) = A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21}。$$

我们不证明以下定理，但你对实数进行的证明同样适用于一般情形：

定理 设 $A$ 和 $B$ 是 $k \times k$ 矩阵。那么$$\det(A) \det(B) = \det(AB)$$且$$\det\left(A^\mathrm{T}\right) = \det(A).$$

定理 设 $\mathrm{adj}(A)$ 是一个 $k \times k$ 矩阵，其第 $(i, j)$ 项由$$(-1)^{i+j} \det C_{j, i}$$给出。那么$$A \cdot (\mathrm{adj} A) = (\mathrm{adj} A) \cdot A = \det A \cdot I$$其中 $\det A \cdot I$ 是对角矩阵，对角元素由元素 $\det A \in R$ 给出。

注 如果你之前没有见过这个定理的最后一条说明，我会简要说明一下证明思路。第一乘法的 $(i, j)$ 项由以下给出：$$\sum_{l=1}^k A_{i l} (\mathrm{adj} A){l j} = \sum{l=1}^k A_{i l} (-1)^{j+l} \det C_{j, l}.$$例如，$(1,1)$ 项就是 $A$ 的行列式的定义。通过使用关于交换行只改变行列式符号的性质，可以证明每个对角线项都是 $A$ 的行列式。

对于非对角线项，注意到上述求和式变为具有两行相等的矩阵的行列式，因此为零。

推论 设 $A \in M_{k \times k}(R)$。则 $A$ 是可逆矩阵当且仅当 $\det A \in R$ 有乘法逆元。

证明：令 $B = \det A^{-1} \mathrm{adj} A$。则有$$B A = \det A^{-1} \mathrm{adj} A \cdot A = \det A^{-1} \det A \cdot I = I.$$同样可以证明 $BA = I$。$$~\tag*{$\square$}$$

例 如果 $A$ 是一个仅包含整数元素的矩阵，那么当且仅当 $\det A = \pm 1$ 时存在一个仅包含整数元素的逆矩阵。

例 设 $A$ 是 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上的一个矩阵。则当且仅当其行列式与 $n$ 互素时，$A$ 是可逆的。