物理

常见不等式

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以下是数学竞赛中常见的不等式的系统整理，涵盖名称、数学形式、适用条件及典型应用场景：

1. 算术-几何平均不等式（AM-GM）

形式：对非负实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，有    $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$

应用：求极值、对称多项式放缩，如证明 $x + \frac{1}{x} \geq2$（当 x>0 时）。

2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）

形式：对实数或复数序列 $\{a_i\}, \{b_i\}$，有    $\left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)$

应用：处理分式求和、向量内积，如证明 $\sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}$（Titu引理）。

3. 排序不等式

形式：若 $a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$且 $b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n$，则    $\sum_{i=1}^n a_i b_{n-i+1} \leq \sum_{i=1}^n a_i b_{\sigma(i)} \leq \sum_{i=1}^n a_i b_i$其中$\sigma$为任意排列。

应用：有序数列乘积和的极值问题。

4. 切比雪夫不等式（排序版）

形式：若 $a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$且 $b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n$，则    $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i b_i \geq \left( \frac{1}{n} \sum a_i \right) \left( \frac{1}{n} \sum b_i \right)$

应用：单调序列关联性的证明。

5. 切比雪夫不等式（概率版）

形式：对随机变量 $X$ 和 k>0，有$P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

应用：概率分布中数据偏离均值的估计。

6. 霍尔德不等式（Hölder） 

形式：对 p,q>1满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，有$\sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \left( \sum |a_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum |b_i|^q \right)^{1/q}$

应用：处理多个数列的乘积和，柯西不等式的推广。

7. 闵可夫斯基不等式（Minkowski）

形式：对 $p \geq 1$，有 $\left( \sum |a_i + b_i|^p \right)^{1/p} \leq \left( \sum |a_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum |b_i|^p \right)^{1/p}$

应用：向量空间中的三角不等式推广。

8. 琴生不等式（Jensen）

形式：若 $f$ 是凸函数，则 $f\left( \frac{\sum \lambda_i x_i}{\sum \lambda_i} \right) \leq \frac{\sum \lambda_i f(x_i)}{\sum \lambda_i}$凹函数时不等式反向。

应用：积分、期望值中的凸性估计，如证明 $e^{\frac{x+y}{2}} \leq \frac{e^x + e^y}{2}$。

9. 权方和不等式

形式：对正数 $a_i, b_i$，有 $\sum \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{(\sum a_i)^2}{\sum b_i}$

应用：分式求和的优化（Titu引理的特例）。

10. 伯努利不等式

形式：对 $x \geq -1$和 $r \geq 1$，有$(1 + x)^r \geq 1 + rx$

应用：指数函数的放缩，如证明数列单调性。

11. 舒尔不等式（Schur）

形式：对实数 $a, b, c \geq 0$ 和 $r \geq 0$，有 $a^r(a - b)(a - c) + b^r(b - c)(b - a) + c^r(c - a)(c - b) \geq 0$

应用：对称多项式的不等式，如三元对称问题。

12. 幂平均不等式

形式：对实数 p > q，有 $\left( \frac{a_1^p + \dots + a_n^p}{n} \right)^{1/p} \geq \left( \frac{a_1^q + \dots + a_n^q}{n} \right)^{1/q}$

应用：不同阶平均值的比较。

13. 内斯比特不等式（Nesbitt）

形式：对正数 $a, b, c$，有 $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

应用：分式对称和的极值，常用AM-HM或柯西证明。

14. 卡尔松不等式（Carlson）

形式：对非负实数 $a_i, b_i$，有 $\left( \sum a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum a_i^2 + \sum b_i^2 \right) \left( \sum \frac{a_i^2 b_i^2}{a_i^2 + b_i^2} \right)$

应用：多维数列的乘积和估计。

15. 三角不等式

形式：对实数或向量 $a, b$，有 $|a + b| \leq |a| + |b|$

应用：绝对值、向量长度的基本性质。

16. 拉格朗日恒等式

形式：对实数 $a_i, b_i$，有$\left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum b_i^2 \right) - \left( \sum a_i b_i \right)^2 = \sum_{i,j}(a_ib_j-a_jb_i)^2$(i<j)

应用：柯西不等式的等号条件分析。

17. 调和平均不等式 (Harmonic Mean Inequality)

形式：对正实数 $a_1, a_2, \dots, a_n$，满足 $\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$即 $\text{HM} \leq \text{GM} \leq \text{AM}$。

应用：比较不同均值，如电路并联电阻计算。

18. 杨氏不等式 (Young's Inequality)

形式：对非负实数 $a, b$ 和共轭指数 p,q>1（满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$），有   $ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$

应用：Hölder不等式的证明、信号处理中的卷积分析。

19. Aczel不等式 (Aczel's Inequality)

形式：若实数序列满足 $a_1^2 \geq a_2^2 + \dots + a_n^2$ 和 $b_1^2 \geq b_2^2 + \dots + b_n^2$，则 $(a_1b_1 - a_2b_2 - \dots - a_nb_n)^2 \geq (a_1^2 - a_2^2 - \dots - a_n^2)(b_1^2 - b_2^2 - \dots - b_n^2)$

应用：二次型优化、内积结构问题。

20. 对数均值不等式 (Logarithmic Mean Inequality)

形式：对正实数 $a \neq b$，有 $\sqrt{ab} \leq \frac{a - b}{\ln a - \ln b} \leq \frac{a + b}{2}$

应用：比较算术、几何与对数均值，热力学熵差分析。

21. 米尔黑德不等式 (Muirhead's Inequality)

形式：若对称多项式指数序列 $\mathbf{a}$ 主要化 $\mathbf{b}$（即降序排列后满足 $\sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i$），则对非负实数 $x_i$，有 $\sum_{\text{sym}} x_1^{a_1}x_2^{a_2}\dots x_n^{a_n} \geq \sum_{\text{sym}} x_1^{b_1}x_2^{b_2}\dots x_n^{b_n}$

应用：对称多项式比较，替代Schur不等式。

22. 欧拉不等式 (Euler's Inequality)

形式：在任意三角形中，外接圆半径 $R$与内切圆半径 $r$ 满足 $R \geq 2r$等号当且仅当三角形为等边时成立。

应用：几何中圆半径关系证明。

23. 卡拉玛塔不等式 (Karamata's Inequality)

形式：若向量 $\mathbf{x}$ 主要化 $\mathbf{y}$，且 $f$ 为凸函数，则 $\sum_{i=1}^n f(x_i) \geq \sum_{i=1}^n f(y_i)$

应用：处理有序数列的凸函数组合，如证明幂函数不等式。

24. 牛顿不等式 (Newton's Inequalities)

形式：对正实数 $x_1, x_2, \dots, x_n$的初等对称函数 $S_k$，有$\frac{S_k}{\binom{n}{k}} \geq \sqrt{\frac{S_{k-1}}{\binom{n}{k-1}} \cdot \frac{S_{k+1}}{\binom{n}{k+1}}}$

应用：对称多项式递推关系，如优化问题中的对称约束。

25. 加权AM-GM不等式

形式：对非负实数 $a_i$和正权重 $w_i$（满足 $\sum w_i = 1$），有  $\prod_{i=1}^n a_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^n w_i a_i$

应用：经济学中的效用最大化、带权重的极值问题。

26. 等周不等式 (Isoperimetric Inequality)

形式：在平面上，所有周长为 $L$的封闭曲线中，圆面积 $A$ 最大，即    $4\pi A \leq L^2$

应用：几何极值问题，如证明固定周长下最大面积图形为圆。

27. 哈代不等式 (Hardy's Inequality)

形式：对 p > 1和非负序列 $\{a_n\}$，有   $\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \right)^p \leq \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n^p$

应用：级数收敛性分析、积分形式的推广。

28. 格罗斯不等式 (Grüss Inequality)

形式：对可积函数 $f, g$ 满足 $m \leq f(x) \leq M$和 $n \leq g(x) \leq N$，则 $\left| \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)g(x)dx - \frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b f(x)dx \int_a^b g(x)dx \right| \leq \frac{1}{4}(M-m)(N-n)$

应用：协方差估计、积分误差分析。

29. 费恩斯不等式 (Finsler-Hadwiger Inequality)

形式：对三角形边长 $a, b, c$，有 $a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3} \cdot \text{面积} + (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$

应用：几何优化中边长与面积的关联。

30. 伯努利逆不等式 (Reverse Bernoulli Inequality)

形式：对 0 < x < 1 和 $r \geq 1$，有    $(1 - x)^r \geq 1 - rx$

应用：概率论中的事件独立性分析。

31. 埃尔德什不等式 (Erdős's Inequality)

形式：对正实数 $a_i$ 和 $k \leq n$，有    $\sum_{1 \leq i_1 \leq \dots \leq i_k \leq n} \prod_{j=1}^k a_{i_j} \leq \binom{n}{k} \left( \frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \right)^k$

应用：组合乘积和的对称放缩。

应用建议

均值选择：根据问题特点选择AM-GM、HM或对数均值。

对称性问题：优先考虑Muirhead或Schur不等式。

积分与级数：使用Hölder、Minkowski或Hardy不等式。

几何问题：结合欧拉不等式、等周不等式或费恩斯不等式。