数学

抽象代数——理想与商环

理想

你可能会这样想：如果 $S \subset R$ 是一个“正常”的子环，那么 $R/S$ 将是某个环。这是对群的盲目类比。然而，这个类比是错误的。

定义 设 $R$ 是一个交换环。一个子集 $I \subset R$ 被称为一个理想(ideal)，如果

(1) $I$ 在加法下是一个子群，并且

(2) $x \in I$ 蕴含 $rx \in I$ 对于所有 $r \in R$。

注 注意 (2) 表明如果 $x, y \in I$，那么 $xy \in I$。所以看起来像是一个关于成为子对象的闭合条件。但是 $I$ 不一定包含 $R$ 的乘法单位元，因此 $I$ 绝对不是一个子环。从启发性的角度看，(2) 实际上是说 $I$ 通过乘法将 $R$ 的每个元素都吸引到 $I$ 中。

命题 对于每个非零整数 $n$，令 $n\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}$ 为那些是 $n$ 的倍数的整数。$n\mathbb{Z}$ 是环 $\mathbb{Z}$ 中的一个理想。

证明：(1) $n\mathbb{Z}$ 包含 $0$，并且如果两个数可被 $n$ 整除，那么它们的和也可以。类似地，如果 $a$ 可被 $n$ 整除，那么 $-a$ 也可以。因此 $n\mathbb{Z}$ 在加法下是一个子群。

(2) 最后，如果 $r$ 是任意整数且 $x$ 可被 $n$ 整除，那么 $rx$ 也可被 $n$ 整除。$$~\tag*{$\square$}$$

注 由于 $R$ 是Abel群，注意任何子群 $I$ 都是正规子群。因此存在一个Abel群 $R/I$。

命题 15.2 设 $R$ 是一个交换环，$I \subset R$ 是一个理想。那么运算$$\times: R/I \times R/I \to R/I,\qquad \overline{r} \cdot \overline{s} = \overline{rs}$$连同 $R/I$ 上的通常加法，使得 $R/I$ 成为一个交换环。

证明：我们需要证明此运算不依赖于代表元 $r \in \overline{r}$ 和 $s \in \overline{s}$ 的选择。

令 $r^{\prime} = r + x$ 和 $s^{\prime} = s + y$，其中 $x, y \in I$。（这意味着 $\overline{r^{\prime}} = \overline{r} \in R/I$，且 $\overline{s^{\prime}} = \overline{s} \in R/I$。）

则$$r^{\prime}s^{\prime} = (r + x)(s + y) = rs + xs + ry + xy.$$注意最后三项在 $I$ 中，因为 $I$ 是一个理想，因此它们的和也在 $I$ 中，因为 $I$ 是一个子群。所以 $\overline{r^{\prime}s^{\prime}} = \overline{rs}$。也就是说，该运算是良定义的。

我们已经知道 $(R/I, +)$ 是一个Abel群。因此我们需要证明 $(R/I, \times)$ 是一个Abel幺半群，并且乘法对加法分配。

首先，乘法是结合的，因为$$(\overline{a}\overline{b})\overline{c} = \overline{ab}\overline{c} = \overline{(ab)c} = \overline{a(bc)} = \overline{a}(\overline{b}\overline{c}).$$注意这里关键的一步是使用了 $(R, \times)$ 是结合的这个事实。

乘法是交换的，因为$$\overline{a}\overline{b} = \overline{ab} = \overline{ba} = \overline{b}\overline{a}$$再次使用了 $(R, \times)$ 是交换的。

乘法单位元是 $\overline{1}$：$$\overline{1}\overline{a} = \overline{1a} = \overline{a},\quad \overline{a}\overline{1} = \overline{a1} = \overline{a}.$$最后，乘法对加法分配，因为$$\overline{a}(\overline{b} + \overline{c}) = \overline{a(b + c)} = \overline{ab + ac} = \overline{a}\overline{b} + \overline{a}\overline{c}.$$$$~\tag*{$\square$}$$因此，为了得到新的有趣的环，我们可以寻找理想然后取商环。

例 环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 对理想 $I = n\mathbb{Z}$ 的商环。

例 $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ 是一个子群，实际上也是一个子环，但它绝不是一个理想。这是因为如果 $x$ 是一个整数且 $r$ 是一个有理数，$rx$ 不一定是一个整数。实际上，子环通常不是理想。

理想与商环的例子

定义 设 $x \in R$ 是一个交换环的元素。由 $x$ 生成的理想是所有形如 $rx$ 的元素的集合，其中 $r \in R$。我们用 $(x)$ 表示这个理想。

命题 这是一个理想。

证明：设 $I = (x)$。$I$ 在加法下是封闭的，因为 $rx + sx = (r+s)x \in I$。它包含加法单位元，因为 $0x = 0$。它包含逆元，因为 $-(rx) = (-r)x$。因此 $I$ 在加法下是一个子群。最后，如果 $s \in R$ 且 $rx \in I$，我们有 $s(rx) = (sr)x \in I$。$$~\tag*{$\square$}$$

例 设 $R = \mathbb{R}[t]$ 为一元多项式环。考虑由多项式 $t^{2}+1$ 生成的理想 $I$。因此$$I = {f(t)~\text{使得}~f(t) = g(t)(t^{2}+1)~\text{对于某个多项式}~g(t)\in \mathbb{R}[t]}.$$

那么环 $R/I$ 是什么？

命题 环 $\mathbb{R}[t]/(t^{2}+1)$ 同构于 $\mathbb{C}$。

是不是很酷？通常，当你有一个环 $R$ 并且你通过某个等式对它的多项式环取商时，你实际上是向 $R$ 中“添加”了一个满足这个多项式方程的元素。这就是Galois理论的开端。

理想的几何解释

问题：你应该如何理解理想？

代数上：一个在倍数下闭合的子群。$I \subset R$，满足

• $rx \in I$，对所有 $x \in I$，$r \in R$。
• $(I, +) \subset (R, +)$ 子群。

你可能觉得这不太有启发性。因此，

几何上：设 $R =\{\text{从某空间}~X~\text{到}~\mathbb{R}~\text{的连续函数}\}$。这个 $R$ 是一个环，因为

• 连续函数之和是连续的，
• 连续函数之积是连续的，
• 零函数是加法单位元 $$ (0 + f)(x) = 0(x) + f(x) = f(x) $$ 因此 $0 + f = f$。（类似地，$f = f + 0$。）
• 常数函数 $1: x \mapsto 1_{\mathbb{R}}$ 是乘法单位元 $$ (1 \cdot f)(x) = 1(x) \cdot f(x) = 1_{\mathbb{R}} \cdot f(x) = f(x) $$ 因此 $1 \cdot f = f$。（类似地，$f \cdot 1 = f$。）
• $-f$ 发送 $x \mapsto -f(x)$，是加法逆元。
• $\begin{aligned}f \cdot (g + h): x \mapsto f(x)((g + h)(x)) &= f(x)(g(x) + h(x))\\&= f(x)g(x) + f(x)h(x)\end{aligned}$，因此 $f(g + h) = fg + fh$。

• 结合律也可以很容易地验证。

好的，因此 $R =\{\text{连续函数}\}$。

令 $Y \subset X$ 是一个子集并定义$$I_{Y} = \{\text{函数}~f \in R~\text{使得}~f(y) = 0, \forall y \in Y\}.$$即，$I_{Y} = {\text{在}~Y~\text{上消失的函数}}$。

命题 $I_{Y} \subset R$ 是一个理想。

证明：令 $f_{1}, f_{2} \in I_{Y}$。那么 $\forall y \in Y$，$$(f_{1} + f_{2})(y) = f_{1}(y) + f_{2}(y) = 0 + 0 = 0$$因此 $f_{1} + f_{2} \in I_{Y}$。类似地，$$(-f_{1})(y) = -f_{1}(y) = -0 = 0.$$因此 $-f_{1} \in I_{Y}$。（注意这也意味着 $0 \in I_{Y}$。但更直接地，$0(y) = 0$，$\forall y \in Y$，所以 $0 \in I_{Y}$。）所以 $I_{Y} \subset R$ 是一个子群。我们只需要验证它在 $R$ 的缩放下是封闭的。

给定 $g \in R$，$f \in I_{Y}$，

$$(\underbrace{g \cdot f}_{\in R})(y) = \underbrace{g(y) \cdot f(y)}_{\in R} = g(y) \cdot 0 = 0$$

因此 $gf \in I_{Y}$。

$$~\tag*{$\square$}$$

结论：每个子集 $Y \subset X$ 产生一个理想 $I_{Y} \subset R$。

注 这个例子应该成为范式的事实并不显然。例如，你如何将 $\mathbb{Z}$ 理解为“某空间 $X$ 上的函数”？理想 $p\mathbb{Z}$ 如何由 $X$ 的某个“子集”给出？

无论如何，这种思维方式对微分几何、数论（想象一下能够讨论素数的几何！）等领域有着巨大的影响。

此外，如果我们有 $Y \subset X$，我们应该能够讨论 $Y$ 上的函数——另一个环！

哲学：令 $Y$ 产生理想 $I_{Y}$。那么$${\text{在}~Y~\text{上的函数}} \cong R/I_{Y}。$$

例（我们偏离所有连续函数，只考察多项式函数。）设 $R = \mathbb{R}[x,y] = \{\text{在}~\mathbb{R}^{2}~\text{上的多项式函数}\}$。令 $Y = {(x,y)~\text{使得}~y^{2} - x = 0}$。那么$$I_{Y} = \{\text{多项式}~f~\text{使得}~f(y^{2}, y) = 0\} \xlongequal{\text{不显然}} (y^{2} - x)$$其中 $(y^{2} - x)$ 是由元素 $y^{2} - x \in R$ 生成的理想。大致来说，如果 $f(x, y)$ 在 $Y$ 上消失，它必须由 $y^{2} - x$ 因式分解。然后$$\{\text{在}~Y~\text{上的代数/多项式函数}\} \cong R/(y^{2} - x).$$那么为什么？如果 $f_{1}$，$f_{2}$ 是 $X$ 上的函数，它们限制在 $Y$ 上。但$$f_{1}(y)= f_{2}(y),\quad \forall y \in Y$$$\Leftrightarrow$ $$f_{1}(y) - f_{2}(y) = 0,\quad \forall y \in Y$$$\Leftrightarrow$ $$f_{1} - f_{2} \in I_{Y}$$即，$f_{1}$ 和 $f_{2}$ 定义了相同的 $Y$ 上的函数当且仅当 $[f_{1}] = [f_{2}] \in R/I_{Y}$。