环的定义

定义 一个幺半群(monoid) 是一个没有逆元的群。也就是说，幺半群是一个集合$M$，与之配合一个函数$$\cdot: M\times M\to M$$该函数具有单位元并且是结合的。我们称一个幺半群是交换的(commutative)，如果对所有$a, b\in M$，有$ab=ba$。

定义 一个结合环(associative ring) 是一个三元组$(R,+, \cdot)$，其中$R$是一个集合，且

(1) $+: R \times R \rightarrow R$是一个函数，使$(R,+)$成为一个Abel群。我们称此运算为加法，其单位元为$0$。

(2) $\cdot: R \times R \rightarrow R$是一个函数，使$R$成为一个幺半群。我们称$\cdot$运算为乘法，其单位元为$1$。

(3) 最后，我们要求乘法对加法是分配的：这意味着对所有$a, b, c \in R$，有$$a(b+c)=a b+a c \quad \text{且} \quad(b+c) a=b a+c a$$其中我们将$a \cdot b$写作$a b$。

我们通常只写$R$表示环，而隐去运算$+$和$\cdot$。

定义 如果$(R, \cdot)$是一个abel幺半群，我们称$R$为交换环(commutative ring)。

在讨论群时，我很快证明了消去律，因为它是有用的知识。这里是另一个有用的知识：

命题 设$R$是一个结合环，$0$是$R$的加法单位元。那么$$0\cdot a=a\cdot 0=0$$对所有$a\in R$成立。

证明：

$$\begin{aligned}0\cdot a&=(0+0)\cdot a\\&=0\cdot a+0\cdot a\end{aligned}$$

利用Abel群的消去律，我们可以从等式的两边减去$0\cdot a$。剩下$0=0\cdot a$。类似地，$a\cdot 0=0$。

$$~\tag*{$\square$}$$

注 我们不会深入探讨原因，但环的行为在它们是否交换方面有着极大的不同。

交换环的例子

例 考虑三元组$(\mathbb{Z},+,\cdot)$。这使得$(\mathbb{Z},+)$成为阿贝尔群，而$(\mathbb{Z},\cdot)$显然是一个幺半群——乘法有一个称为$1$的单位元并且是结合的。分配律是你熟悉的分配律。

例 使用通常的加法和乘法，三元组$(\mathbb{Q},+,\cdot)$是一个环。对于$\mathbb{R}$和$\mathbb{C}$及其通常的乘法也是如此。这些是特殊类型的环，因为$R-{0}$中的任一元素在乘法下都有逆元。

例 (多项式环)令$\mathbb{Z}[x]$表示系数为整数的$x$的多项式的集合。因此，一个元素是一个表达式$$p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i}$$其中对于大于某个有限$n$的所有$i$，$a_{i}=0$。例如，以下是$\mathbb{Z}[x]$中的元素：$$0, 5, 3+x-5x^{4}, x。$$在第三个例子中，$a_{0}=3$，$a_{1}=1$，$a_{2}=0$，$a_{3}=0$，$a_{4}=-5$。

设$q(x)$是一个系数为$b_{i}$的多项式。多项式的加法定义如下$$p(x)+q(x):=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(a_{i}+b_{i})x^{i}。$$注意，因为对于大于$n$的$i$，$a_{i}=0$，且对于大于某个$m$的所有$i$，$b_{i}=0$，因此和确实是一个多项式，因为$(a_{i}+b_{i})=0$对于所有大于$\max(m,n)$的$i$成立。

两个多项式的积定义为通常的方式

$$\begin{aligned}p(x)\cdot q(x)&=(a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n})(b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{m}x^{m})\\&=a_{0}b_{0}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+\cdots+a_{n}b_{m}x^{n+m}\\&=\sum\limits_{k\geqslant 0}\left(\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}.\end{aligned}$$

命题 14.2 $\mathbb{Z}[x]$是一个交换环。更一般地说，如果$R$是一个交换环，那么系数在$R$中的多项式集合$R[x]$是一个交换环。

证明：

1. $R[x]$是一个环，因为

(1) 加法是封闭的：对于$R[x]$中的两个多项式$p(x)$和$q(x)$，它们的和$p(x)+q(x)$是一个多项式，其系数为$p(x)$和$q(x)$的相应系数之和。由于$R$是交换环并在加法下封闭，因此该运算在$R[x]$中是良定义的。

(2) 乘法是封闭的：对于两个多项式$p(x)$和$q(x)$，它们的积$p(x)\cdot q(x)$表示为$$p(x)\cdot q(x)=\left(\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum\limits_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}\right)=\sum\limits_{k=0}^{n+m}c_{k}x^{k}$$其中系数$c_{k}$计算为$$c_{k}=\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}。$$因为$R$在乘法下封闭，所以系数$c_{k}$是$R$的元素，因此积是$R[x]$中的多项式。

(3) 加法是结合且交换的：$R[x]$中的多项式加法是结合且交换的，因为$R$中的加法是结合且交换的，并且对各个系数的操作遵循$R$的性质。

(4) 乘法是结合的：$R[x]$中的多项式乘法是结合的，因为分配律成立，且$R$中的乘法是结合的。因此对于$R[x]$中的多项式$p(x), q(x)$和$r(x)$，有$$(p(x)\cdot q(x))\cdot r(x)=p(x)\cdot(q(x)\cdot r(x)).$$

(5) 分配律：乘法对加法是分配的，因为对于$R[x]$中的多项式$p(x), q(x)$和$r(x)$，有$$p(x)\cdot(q(x)+r(x))=p(x)\cdot q(x)+p(x)\cdot r(x).$$这是因为分配律适用于$R$中的个别系数。

2. 乘法的交换性：对于任何多项式$p(x), q(x)\in R[x]$，有$$p(x)\cdot q(x)=q(x)\cdot p(x)。$$这是因为$R$中的乘法是交换的。特别地，如果$p(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$且$q(x)=\sum\limits_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}$，则积为$$p(x)\cdot q(x)=\sum\limits_{k=0}^{n+m}\sum\limits_{i+j=k}a_{i}b_{j}x^{k}.$$由于$R$中的乘法是交换的，有$a_{i}b_{j}=b_{j}a_{i}$，因此$$p(x)\cdot q(x)=q(x)\cdot p(x).$$$$~\tag*{$\square$}$$

例 (光滑函数)这是一个更难写出集合中所有元素的例子。令$C^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$表示从$\mathbb{R}^{n}$到$\mathbb{R}$的所有无穷可微函数的集合。给定两个函数$f$和$g$，定义它们的和$f+g$为一个函数，该函数将$x\in\mathbb{R}^{n}$映射到$f(x)+g(x)$，其中加法发生在$\mathbb{R}$中。它们的乘积$fg$是一个将$x\in\mathbb{R}^{n}$映射到$f(x)\cdot g(x)\in\mathbb{R}$的函数。这也是一个环。

环$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

我们已经看到了三个我们熟悉的环的例子。它们都是无限的。现在来看一些有限的例子。

引理 令$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$为整数模$n$的集合。函数$$\cdot: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\qquad \overline{a}\cdot\overline{b}:=\overline{a\cdot b}$$是良定义的。

注 我们用$\overline{a}$表示与$a\in\mathbb{Z}$相关联的等价类。这里，$a\cdot b$是整数的通常乘法，而$\overline{a\cdot b}$表示模$n$的等价类。

证明：我们需要证明，如果$\overline{a}=\overline{a}^{\prime}$且$\overline{b}=\overline{b}^{\prime}$，那么$$\overline{a\cdot b}=\overline{a^{\prime}\cdot b^{\prime}}。$$因为$a=a^{\prime}$模$n$当且仅当$a=a^{\prime}+An$（其中$A$是整数）。同样，$b=b^{\prime}+Bn$对于某个$B$。因此$$ab=(a^{\prime}+An)(b^{\prime}+Bn)=a^{\prime}b^{\prime}+(a^{\prime}B+Ab^{\prime}+AB)n$$因此$ab$等于$a^{\prime}b^{\prime}$模$n$。$$~\tag*{$\square$}$$

推论 令$+$为$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$上的通常加法，$\cdot$为上述运算。那么

(1) $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$是一个单位元为$\overline{0}$的Abel群。

(2) $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\cdot)$是一个单位元为$\overline{1}$的Abel幺半群。

(3) 运算$\cdot$对$+$是分配的。

证明：(1) 是我们早已证明的结论。

(2) 为了证明结合性，注意到$$\begin{aligned}(\overline{a}\cdot\overline{b})\cdot\overline{c}&=\overline{a\cdot b}\cdot\overline{c}\\&=\overline{(a\cdot b)\cdot c}\\&=\overline{a\cdot(b\cdot c)}\\&=\overline{a}\cdot\overline{b\cdot c}\\&=\overline{a}\cdot(\overline{b}\cdot\overline{c}).\tag{14.1}\end{aligned}$$除(14.1)外，每一行都是基于$\cdot$的定义，而(14.1)使用了整数乘法的结合性。交换性成立是因为$$\overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{a\cdot b}=\overline{b\cdot a}=\overline{b}\cdot\overline{a}。$$注意中间等号只是整数乘法的交换性。单位元是$1$，因为$\overline{a}\cdot\overline{1}=\overline{a\cdot 1}=\overline{a}$。

(3) 分配律成立是因为$$\begin{aligned}\overline{a}\cdot(\overline{b}+\overline{c})&=\overline{a}\cdot\overline{b+c}\\&=\overline{a\cdot(b+c)}\\&=\overline{ab+ac}\\&=\overline{ab}+\overline{ac}\\&=\overline{a}\cdot\overline{b}+\overline{a}\cdot\overline{c}.\tag{14.2}\end{aligned}$$除了(14.2)，其他各行均基于定义，而(14.2)使用了通常整数的分配律。$$~\tag*{$\square$}$$

交换环的动机

现代数学中有一种哲学认为，可以通过研究空间上的函数集的性质来推断空间本身的性质。例如，通过研究空间$X$上的多项式函数集，可以推断出空间$X$的某些性质。实际上，所有函数集始终是一个交换环。这些环的性质决定了空间$X$的某些特性。这并不是显而易见的，其中一些最有意义的相关发展直到19世纪80年代才出现——也就是在Descartes首先注意到代数方程可以描述具体几何近两百年后。因此，如果你认为代数（从伊斯兰黄金时期的800年代开始）和几何（源自希腊人）在Descartes将其结合起来之前经过了近千年，而我们又花了两百年才系统地理解环是研究几何的有力工具，你可能会意识到自己正在接触一些非常深刻的思想。我们无法深入探讨利用环研究几何的理论——但是如果你感兴趣，可以查阅一些关于交换代数和代数几何的资料。

非交换环的例子

例(矩阵环) 确定一个整数$n\geqslant 0$，考虑所有元素为$\mathbb{R}$的$n\times n$矩阵的集合$M_{n\times n}(\mathbb{R})$。你可以对矩阵进行加法和乘法运算，并且矩阵乘法对加法是分配的。因此$M_{n\times n}(\mathbb{R})$是一个环。为了明确分配律，考虑三个矩阵$A, B, C$，其元素为$a_{ij}, b_{ij}, c_{ij}$。则$A(B+C)$的$ij$项为$$\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}+\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}c_{kj}$$但这个右侧是$AB+AC$的$ij$项。你也可以类似地证明$(B+C)A=BA+CA$。

例(群环) 设$G$是有限群，$R$是一个交换环。那么$R[G]$作为一个集合，是从$G$到$R$的所有函数的集合。（因此每个元素$g\in G$都对应一个$R$中的元素$r_{g}$。）我们用求和表示这样的一个函数：$$\sum\limits_{g\in G}r_{g}g。$$例如，下面是$\mathbb{Z}[S_{3}]$的一个元素：$$5(~)+3(12)-8(123)。$$加法是显然的——我们仅对每一项相加，因此$$\left(\sum r_{g}g\right)+\sum\left(s_{g}g\right)=\sum\limits_{g\in G}(r_{g}+s_{g})g。$$即，这是函数的加法。乘法不仅仅是函数的乘法。$\sum r_{g} g$和$\sum s_{g} g$的乘积在$g$的系数由以下公式给出$$\sum\limits_{(g_{1},g_{2})~\text{s.t.}~g_{1}g_{2}=g}r_{g_{1}}s_{g_{2}}.$$换句话说，$$\left(\sum\limits_{g\in G}r_{g}g\right)\left(\sum\limits_{h\in G}s_{h}h\right)=\sum\limits_{g\in G}\sum\limits_{h\in G}r_{g}s_{h}(gh)=\sum\limits_{k\in G}\left(\sum\limits_{(g_{1},g_{2})~\text{s.t.}~g_{1}g_{2}=g} r_{g}s_{h}\right)k.$$注意，这种乘法不是交换的。

环同态

定义 设$R$和$S$是环，且$f: R\to S$是一个函数。我们称$f$为一个环同态(ring homomorphism)，如果

(1) $f$是加法的群同态，

(2) $f(1)=1$（即$f$将$R$的乘法单位元映射到$S$的单位元），并且

(3) 对所有$a,b\in R$有$f(ab)=f(a)f(b)$。

定义 如果$f$是一个双射，我们称$f$是一个同构(isomorphism)。

现在我想进一步说明为什么$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$是一个环。我们如何证明它是一个群的？通过应用一个普遍原则：如果$H\triangleleft G$，那么$G/H$是一个群。

我想对环做同样的事情。但在这个上下文中，当我们说到环时，我们将意味着一个交换环。