计数

我们已经看到轨道-稳定子定理为我们解答了一些非平凡的问题：例如，四面体的对称群有多大？回顾一下，该定理表明对于任何作用在集合$X$上的群$G$以及$X$中的任意元素$x$，都有双射$G/G_{x}\cong\mathcal{O}_{x}$。特别地，如果群$G$是有限的，我们有

$$|\mathcal{O}_{x}|=|G|/|G_{x}|$$

这类计数定理在数学中非常有用。它们就像篮球中的“上篮”一样，是最简单的得分方式。一旦你将一个复杂问题简化为计数问题，你就取得了进展。

在Lagrange定理的证明中，我们使用了这样一个推理：任何集合都是其轨道的并集。因此，给定$G$作用在有限集合$X$上的群作用，我们可以得出结论$$|X|=\sum\limits_{\text{轨道}}|\mathcal{O}_{x}|$$让我们进一步利用这个观察。上述等式被称为计数公式(counting formula)。

$p$-群

定义 设$p$为素数。如果一个有限群$G$的阶为$p$的幂，即$$|G|=p^{n}$$其中$n\geqslant 1$为整数，则称$G$为 $p$-群($p$-group)。

定义 设$G$作用在集合$X$上。如果对于$X$中的某个元素$x$，对所有$g\in G$都有$gx=x$，则称$x$是该群作用的一个不动点(fixed point)。

命题 固定一个$p$-群$G$，并且固定一个阶不被$p$整除的有限集合$X$。那么$G$对$X$的任何作用都至少有一个不动点。

例 如果有人声称他们有一个$p$-群作用在四面体上，你可以查看$G$在四面体顶点集合上的诱导作用。如果$p$不是$2$，那么该群作用至少会固定一个顶点。

证明：根据轨道-稳定子定理，任何轨道$\mathcal{O}_{x}$的阶都能整除群$G$的阶。因此，我们可以得到$|\mathcal{O}_{x}|$必须等于$p^{k}$，其中$k\geqslant 0$。注意，我们必须证明对于某个$x\in X$，$|\mathcal{O}_{x}|=p^{0}=1$以显示一个不动点。

这样的$x$必须存在——否则，每个$\mathcal{O}_{x}$都等于$p^{k}$，其中$k\geqslant 1$，因此每个$\mathcal{O}_{x}$都能被$p$整除。于是计数公式右侧

$$|X|=\sum\limits_{\text{轨道}}\mathcal{O}_{x}$$

被$p$整除。但根据假设，$|X|$不能被$p$整除。因此，$\mathcal{O}_{x}$必须为$1$。$$~\tag*{$\square$}$$这是另一个应用：

命题 设$G$是一个$p$-群。那么$G$的中心非平凡（即其中心必须包含不止单位元素）。

在以下内容中，我们用$Z$表示$G$的中心。

证明：考虑$G$对自身的共轭作用。该作用的轨道正是$G$的共轭类。因此计数公式为$$|G|=\sum\limits_{\text{共轭类}}|[x]|$$其中$[x]$是$x$的共轭类——它是所有形如$gxg^{-1}$的元素的集合，其中$g\in G$。$|[x]|=1$当且仅当$x$在$G$的中心中。因为如果$\mathcal{O}_{x}$中唯一的元素是$x$本身，这意味着对所有$g\in G$都有$gxg^{-1}=x$——这当然意味着$gx=xg$。

最后，我们知道$1_{G}\in G$始终在$G$的中心中，因此计数公式为$$|G|=1+\sum\limits_{\text{共轭类}\neq[1_{G}]}|[x]|$$如果对所有$x\neq 1_{G}$都有$|[x]|\geqslant 2$，那么右侧就不会被$p$整除——因为它会是一个类似于$$1+\sum\limits_{\text{各种}~k\geqslant 1}p^{k}$$的求和。这与$|G|$只能被$p$整除相矛盾。因此，必须存在某个$x\neq 1_{G}$使得$|[x]|=1$；也就是说，中心中必须存在某个$x\neq 1_{G}$。$$~\tag*{$\square$}$$

它有一个非常好的推论

推论 任意阶为$p^{2}$的群都是Abel群。

这是一条非常非平凡的推论。例如，想象一下手动证明阶为$49$的群必须是Abel群的情况。

我们已经知道，任何阶为$p$的群都是Abel群，因为它必须是循环群。这是更高的一个幂。

证明：$G$的中心是一个子群，因此根据Lagrange定理，我们必须有$|Z|=1$、$p$或$p^{2}$，因为这些是$p^{2}$的唯一因数。

另一方面，命题告诉我们$|Z| \neq 1$，因此它必须是$p$或$p^{2}$。

假设$|Z|=p$。我们将引出一个矛盾。对于固定的$x \in G$，$x \notin Z$，让我们检查$x$在$G$下的共轭作用的稳定子。这就是我们上次提到的$x$的中心化子，并记作$Z(x)$。它是所有满足$xy=yx$的$y \in G$的集合。

由于一个群作用的稳定子总是一个子群，根据Lagrange定理，我们知道$|Z(x)|$必须整除$p^{2}$。另一方面，由于$Z \subset Z(x)$，因为中心的任何元素（根据定义）都与$x$交换。此外，由于$x \in Z(x)$，因为$x$与自身交换。这证明$|Z| < |Z(x)|$，因此$|Z(x)|$必须是一个大于$p$的且能整除$p^{2}$的数。我们得出结论$|Z(x)|=p^{2}$。

但这意味着$G$的每个元素都与$x$交换。因此$x$必须在中心中。$$~\tag*{$\square$}$$

所以这种“计数”策略已经取得了很大的成效。让我们尽可能多地利用它。所有这些努力的一个美丽结果就是Sylow定理。