数学

抽象代数——单群与Hölder计划

有些群不能由其他群构建出来。例如，如果$H$不允许任何（非平凡的）正规子群呢？那么就不可能有短正合列，除非$H \cong K$或$G \cong H$。在这种意义上，没有正规子群的群是最简单的群。

定义 一个群$H$称为单群(simple group)，如果它没有非平凡的正规子群。

例 一个循环群当且仅当它是有限的素数阶时是单群。(如果它是素数阶，它是单群，因为它没有子群，除了它本身和${1}$。另一方面，阶为$n$的循环群对于每一个除以$n$的数$n/k$都有一个子群；例如，取任意生成元$x$的集合${1, x^{k}, \ldots}$。因此，循环群在它是素数阶时是单群。)

例 $\mathbb{Z}$不是单群。（它有很多子群，并且Abel群的任意子群都是正规子群。）

例 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$是单群。（$A_{1}$和$A_{2}$都有一个元素。根据第一个同构定理，$A_{3}$是$S_{3}$的指数为$2$的子群——它是阶为$3$的群，属于素数阶的循环群。）

例 $A_{4}$不是单群。（我们需要找到一个非平凡的正规子群。这个群唯一的非平凡正规子群由2个循环的乘积元素构成。这个正规子群同构于Klein四元群，而商群是阶为$3$的循环群。）

定理 对于$n\geqslant 5$，$A_{n}$是一个单群。

证明：为了证明$n \geqslant 5$时交错群$A_n$是单群，我们需要证明$A_n$除了平凡子群${e}$和$A_n$本身外没有其他正规子群。

设$N$是$A_n$的一个正规子群，且$N \neq {e}$。我们将证明$N = A_n$，从而证明$A_n$是单群。

1. $N$包含一个3-循环：

因为$N$是非平凡的，存在一个非恒等元$\sigma \in N$。我们考虑$\sigma$的互不相交的循环分解中的循环类型。

情况1：如果$\sigma$包含一个3-循环，则$N$包含一个3-循环。

情况2：如果$\sigma$不包含3-循环，我们将通过以下步骤证明$N$仍然包含一个3-循环。

2. 共轭与正规性：

因为$N$在$A_n$中是正规子群，对于任意$\tau \in A_n$，共轭$\tau \sigma \tau^{-1} \in N$。该性质使我们能够从已有的元素中生成$N$中的新元素。

3. 生成3-循环：

4. 将元素表示为3-循环的乘积：

任何偶置换都可以表示为3-循环的乘积。例如，长度为$k \geqslant 3$的循环$(a_1\, a_2\, \dots\, a_k)$可以写成：$$(a_1\, a_2\, a_3)(a_1\, a_3\, a_4)\dots(a_1\, a_{k-1}\, a_k)$$

• 使用对易子得到3-循环：

考虑$\sigma$和适当的$\tau \in A_n$。换位子$\gamma = \sigma \tau \sigma^{-1} \tau^{-1}$是$N$的一个元素（因为$N$是正规子群）且可以是3-循环。

4. $N$包含所有3-循环：

• 共轭类：

在$A_n$中，3-循环分为两个共轭类，但它们的并集是所有3-循环的集合。因为$N$包含至少一个3-循环且是正规子群，它必须包含该共轭类的所有3-循环。

• 用3-循环生成$A_n$：

当$n \geqslant 5$时，群$A_n$由其3-循环生成。因此，由所有3-循环生成的$A_n$的子群是$A_n$本身。

5. 结论：因为$N$包含所有3-循环，$N$生成$A_n$。因此，$N = A_n$。

因此，当$n \geqslant 5$时，$A_n$是单群。$$~\tag*{$\square$}$$

现在我们已经看到了很多群的例子，我们想开始对它们进行分类。我们是否可以想出一个一般的策略来帮助我们说：“我知道所有的群”？

问题：我们如何分类所有群？

在某种程度上，这个问题没有一个令人满意的答案。我们可以尝试了解所有的单群，然后了解它们的构造方式。19世纪开始的策略被称为Hölder计划。它看起来很自然。问题是，我们不知道如何执行它。我们甚至无法分类所有有限单群。

那么我们是否可以了解所有有限单群及其扩张？这至少会分类所有有限群。我们仍然不知道如何做到这一点。我们可以在1985年左右对所有有限单群进行分类，但我们仍然不知道如何解决分类其扩张的问题。为了让您了解分类的困难程度，请考虑以下定理为Thompson赢得了Fields奖：

定理 （Feit-Thompson或奇数阶定理）每个有限的非Abel单群都有偶数阶。

因此，例如，如果你给我一个非Abel群，其阶是奇数，我就知道它不是单群。

定义 用于分类群的Hölder计划(Hölder program) 为：

(1) 分类所有单群。

(2) 分类所有构造单群扩张的方式。

我们不知道如何完成这个计划。例如，我们不知道如何做第(1)步。我们只知道如何对有限单群进行分类，并且直到1985年才完成这一工作。即使对于有限群，我们也没有完成第(2)步。

继Hölder计划的重点关注复杂群结构的理解和分解后，我们现在探讨可解群，这些群可以系统地分解为简单的Abel分量。

定义 群$G$称为可解的（Solvable），如果它有一个有限的子群序列$$G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright G_{2}\triangleright\cdots\triangleright G_{n}={e}$$使得每个$G_{i}$在$G_{i-1}$中是正规子群且相应的商群$G_{i-1}/G$是Abel的。

注 群是“可解的”，因为它可以被分解为更小、更简单的部分，最终达到平凡群。

例 每个循环群都是Abel群，因此它是平凡地可解的。

例 $S_{3}$是可解的。正规序列：$S_{3}\triangleright A_{3}\triangleright{e}$。商群：$S_{3}/A_{3}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，且$A_{3}/{e}\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。它们都是Abel的，因此$S_{3}$是可解的。

例 $S_{5}$不是可解的。缺乏合适的正规序列突显了可解群和更复杂群之间的差异。

命题 可解群的每个子群都是可解的。

证明：一个可解群$G$有一个子群链：$$G=G_{0} \triangleright G_{1} \triangleright \dots \triangleright G_{n}={e},$$其中每个商群$G_{i-1}/G_{i}$都是Abel的。

设$H \subseteq G$为子群。我们可以将$H$与链中的每个群相交：$$H \cap G_{0} \triangleright H \cap G_{1} \triangleright \dots \triangleright H \cap G_{n}={e}。$$每个商群$(H\cap G_{i-1})/(H \cap G_{i})$是Abel商群$G_{i-1}/G_{i}$的子群，因此它也是Abel的。

这给出了$H$的一个Abel商群的正规序列，意味着$H$是可解的。$$~\tag*{$\square$}$$

命题 可解群的商群是可解的。

证明：如果群$G$是可解的，则它有一个正规子群链：$$G=G_{0}\triangleright G_{1} \triangleright \dots \triangleright G_{n}={e},$$其中每个商群$G_{i-1}/G_{i}$都是Abel的。

设$N \triangleleft G$为正规子群，我们想要证明商群$G/N$是可解的。

利用$G$的链在商群中形成一个新链：$$G_{0}/N \triangleright G_{1}/N \triangleright \dots \triangleright G_{n}/N= {e}.$$

每个新的商群：$$ (G_{i-1}/N)/(G_{i}/N) \cong G_{i-1}/G_{i}$$是Abel的，因为原始商群$G_{i-1}/G_{i}$是Abel的。

因此，商群$G / N$是可解的。$$~\tag*{$\square$}$$关于可解群的讨论展示了如何将群分解为更简单的组成部分。虽然可解群结构清晰且易于处理，但非可解群（如单群）的研究在理解群论的广泛图景中仍然至关重要。

在下一章中，我们将继续探讨群论中的更多专门结果，例如Sylow定理，它为有限群的结构提供了更深刻的见解。