扩张——短正合序列

定义 群的短正合序列(short exact sequence) 是由两个同态构成的序列$$G\to H\to K$$满足以下条件：

(1) $G\to H$ 是一个单射，

(2) $H\to K$ 是一个满射，并且

(3) $H\to K$ 的核等于（不仅仅是同构）$G\to H$ 的像。

一个短正合序列通常写作$$1\to G\to H\to K\to 1.$$

定义 我们也称 $H$ 是 $K$ 被 $G$ 扩展的扩张(extension)。

问题：两端的 $1$ 是什么意思？

$1$ 表示只有一个元素的平凡群。上述序列是“正合”的，因为任何同态的像都是下一个同态的核。例如，部分 $1\to G\to H$ 表示 $1\to G$ 的像是 $G\to H$ 的核，即 $G\to H$ 是单射。

由于稍后会更加清楚的原因，短正合序列之所以重要，是因为以下的理念：我们认为群 $H$ 是由群 $G$ 和 $K$ 组成的。

例 有以下短完全序列：

(1) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，以及（第一个同态将 $1\mapsto 2\in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$，而第二个同态将 $0, 2\mapsto 0$ 和 $1,3\mapsto 0\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。）

(2) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。（我们将 $a\mapsto(a,0)$ 和 $(a,b)\mapsto b$。）

因此我们可以认为 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 和 Klein 四元群都是由两个 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 构成的，但我们看到可以用不同的方式从 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 构建出不同的群。

我们还有以下短正合序列：

(3) $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to S_{3}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，（$A_{3}\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$，这是与 $A_{3}\to S_{3}$ 的包含相关的短正合序列。） 以及

(4) $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

因此我们看到，至少有两种不同的方法可以通过 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 构建一个阶为 $6$ 的群。

注 上述例子表明：

(1) 扩张不需要是直积。

(2) 扩张 $G\to H\to K$ 可能不允许 $H\leftarrow K$ 的映射，使得 $K\to H\to K=\mathrm{id}_{K}$。

(3) 交换群的扩张可以是非交换群。

分裂短正合序列

定义 如果存在同态 $K\to H$ 使得 $K\to H\to K=\mathrm{id}_{K}$，我们称短正合序列$$G\to H\to K$$分裂(split)。

为了更方便阅读，从现在起我们将短正合序列$$G\to H\to K$$写成$$L\to H\to R$$$L$ 代表左侧，$R$ 代表右侧。由于 $L\to H$ 是单射，从现在起我们将用 $H$ 中的像来表示 $L$，以简化符号。

例 上述短正合序列的例子中：

(1) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，

(2) $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

(3) $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to S_{3}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，

(4) $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。

只有 (1) 不分裂。

请注意，先验地没有办法将 $R$ 视为 $H$ 的子群。例如，在例子$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$中，第二个 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 无法自然地“嵌入”回 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$。

命题 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 不分裂。

证明：$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 只有 $1$ 和 $2$ 阶的元素，因此没有同态 $j: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 可以拥有包含 $\geqslant 3$ 阶元素的像。（毕竟，如果 $g^{n}=1$，我们也必须有 $j(g)^{n}=1$。）

但我们观察到，$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 中的 $[1]$ 和 $[3]$ 都是 $4$ 阶的元素：$$\langle[1]\rangle={[1],[2],[3],[0]},\quad \langle[3]\rangle={[3],[6]=[2],[5]=[1],[0]}$$因此，任何同态 $j: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 的像都必须包含在 ${[0],[2]}\subset \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 中。但这是从 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的映射的核。因此没有 $j$ 能够分解 $R=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的恒等映射。$$~\tag*{$\square$}$$

这是一个戏剧化的例子：

例 短正合序列$$\mathbb{Z}\xrightarrow{\times n}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$对于任何 $n\neq -1,0,1$ 都不分裂。（任何从 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的同态必须将一个 $n$ 阶元素映射到某个有限阶的元素。但 $\mathbb{Z}$ 中除了 $0$ 外没有有限阶的元素，因此不存在从 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{Z}$ 的单射。）

既然这是我们第一次尝试理解短正合序列，我们试着分析可以将 $R$ 视为 $H$ 的子群的情况。如果 $L$ 和 $R$ 都在 $H$ 内部，也许你会更容易接受这个理念，即 $H$ 是由 $L$ 和 $R$“构造”的。因此我们得到了之前的定义。

定义 如果存在一个群同态 $j:R\to H$，使得复合 $R\xrightarrow{j}H\to R$ 等于 $\mathrm{id}_{R}$，我们称短正合序列分裂(split)。我们称 $j: R\to H$ 的选择为一个分裂(splitting)。

因此，如果短正合序列是由同态 $\phi: L\to H$，$\psi: H\to R$ 给定的，定义意味着 $\psi\circ j=\mathrm{id}_{R}$。特别地，$j$ 是一个单射。