难度提示：高考/强基——竞赛一轮

数学基础——极坐标

一、极坐标基本定义

1.1 引入极坐标的背景

笛卡尔坐标系局限性：旋转对称图形、天体运动轨迹等场景表达繁琐

极坐标思想：用距离和角度定位点，适用于中心对称问题

1.2 定义

极点 (Origin): 坐标原点O

极轴 (Polar Axis)： 固定射线Ox（通常取x轴正方向）

坐标表示: P(ρ, θ)

  ρ (半径): P到O的距离（ρ ≥ 0）

  θ (极角): 从Ox到OP的角度（弧度制，通常取0 ≤ θ < 2π）

二、极坐标与直角坐标转换

转换公式

在直角坐标系中，设P(x, y)对应极坐标(ρ, θ)

  由三角函数：

$  x = \rho \cos\theta,\quad y = \rho \sin\theta $

  反解得到：

$  \rho = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \quad (x \neq 0) $

三、常见曲线的极坐标方程

圆的极坐标方程

1. 圆心在极点（原点）

圆心在极点$ O $，半径为 $ a $

圆上任意一点 $ P(\rho, \theta) $ 到极点 $ O $ 的距离恒为 $ a $

方程：$  \rho = a$

几何意义：所有与原点距离为 $ a $ 的点的集合。

2. 圆心在极轴上

直角坐标系中，圆心 $ C(a, 0) $，半径 $ a $

对圆上任意点 $ P(\rho, \theta) $，由余弦定理：

$    OP^2 + OC^2 - 2 \cdot OP \cdot OC \cdot \cos\theta = CP^2$

代入 $ OP = \rho $, $ OC = a $, $ CP = a $：

$    \rho^2 + a^2 - 2a\rho\cos\theta = a^2 \Rightarrow \rho = 2a\cos\theta$

方程：$    \rho = 2a\cos\theta $

$ \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ 时 $ \rho \geq 0 $，覆盖整个圆。

圆心坐标为  (b, 0) ，半径  R （一般情况）

直角坐标方程：

$  (x - b)^2 + y^2 = R^2$

转换为极坐标：

$  (\rho\cos\theta - b)^2 + (\rho\sin\theta)^2 = R^2 \implies \rho^2 - 2b\rho\cos\theta + b^2 = R^2$

方程： $  \rho^2 - 2b\rho\cos\theta = R^2 - b^2$

若  R = b ，则简化为 $ \rho = 2b\cos\theta $

3. 圆心C在任意位置 $ (b, \alpha) $,半径  R 

对圆上任意点$ P(\rho, \theta) $

余弦定理：

$    CP^2 = OP^2 + OC^2 - 2 \cdot OP \cdot OC \cdot \cos(\theta - \alpha)$

即：

$    R^2 = \rho^2 + b^2 - 2b\rho\cos(\theta - \alpha)$

极坐标方程：

$    \rho^2 - 2b\rho\cos(\theta - \alpha) + b^2 - R^2 = 0$

若 $ \alpha = 0 $，圆心在极轴上

总结

圆心位置                             极坐标方程                    

极点  (0,0)                              $ \rho = a $                   

极轴上  (a,0)                           $ \rho = 2a\cos\theta $       

垂直极轴  (0,a)                        $ \rho = 2a\sin\theta $       

一般位置 $ (b,\alpha) $             $ \rho^2 - 2b\rho\cos(\theta - \alpha) + b^2 = R^2 $

直线的极坐标方程

过极点：θ = α（α为定角）

不过极点：ρ cos(θ - α) = d（d > 0，α为法线角）

圆锥曲线的极坐标方程

1. 焦点-准线定义

圆锥曲线可定义为：  到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数 e（离心率）的点的轨迹

 0 < e < 1 : 椭圆  

 e = 1 : 抛物线  

 e > 1 : 双曲线  

2. 极坐标方程推导

设焦点位于极点 O 

准线为垂直于极轴的直线  x = d （直角坐标系中， d > 0 ）

任意点 $ P(\rho, \theta) $ 满足$ \frac{PF}{PL} = e $

其中：$ PF = \rho $（点  P  到焦点  O  的距离）

$ PL = d - \rho \cos\theta $（点  P  到准线  x = d  的垂直距离）

由定义得：

$\frac{\rho}{d - \rho \cos\theta} = e$

整理得极坐标方程：

$\rho = \frac{ed}{1 + e \cos\theta}$

3.椭圆

方程：$  \rho = \frac{ed}{1 + e \cos\theta}$

长轴沿极轴方向，长半轴 $ a = \frac{ed}{1 - e^2} $

短半轴 $ b = \frac{ed}{\sqrt{1 - e^2}} $

焦点到准线距离$ d = \frac{a(1 - e^2)}{e} $

4. 抛物线

方程：$  \rho = \frac{d}{1 + \cos\theta}$

顶点在极轴上，距离焦点 $ \frac{d}{2} $

准线方程为 x = d 

5. 双曲线

方程：$  \rho = \frac{ed}{1 + e \cos\theta}$

渐近线方向 $\theta = \pm \arccos\left(-\frac{1}{e}\right)$

实轴长 $2a = \frac{2ed}{e^2 - 1}$

例题

Question 1:将直角坐标方程 $ x^2 + y^2 - 4x = 0 $转换为极坐标形式

Answer：

$   x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $

替换：

$   (r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 - 4(r \cos \theta) = 0 $

化简方程

$  r^2 - 4r \cos \theta = 0$

$r = 4\cos\theta$

Question 2:分析方程$\rho = \frac{12}{3 + 2\cos\theta}$对应的曲线类型，并求几何参数

Answer：

标准化：$\rho = \frac{4}{1 + \frac{2}{3}\cos\theta}$

离心率 $e = \frac{2}{3}$

长轴长 $2a = \frac{ed}{1 - e^2} = 18$, 短轴长 $2b = 12\sqrt{5}$

板砖特供：

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