物理

TMO 2nd [2025.3]

顶贴。怎么没入？

@暮鼓晨钟感谢您的反馈，是这样的，我们这届没有瞄准冬令营的难度出题。

因为论坛上大部分同学都没有办法独立做出来，可能会导致区分度过于低下。

这次的题目的话T1～3大概是一试水平(T1高考难度)。T4～5是二试到东南奥赛，T6接近冬一。

以及，您能不能高抬贵手做一下这套对您来说比较简单的题？感激不尽。

今天先做第一题。

瞎做的，不知道对不对。

先发评，到时候做完一并发个帖子

$$\text{Problem 1}$$

设$a \in \mathbb{N}^*$且不是完全平方数，$r \in \mathbb{R}$满足  

$$r^3 - 20r + 1 = 0$$

求证：$r + \sqrt{a} \notin \mathbb{Q}$

$\text{Proof}$：

假设$r + \sqrt{a} =\lambda\in \mathbb{Q}$，则$r =\lambda - \sqrt{a}$。

代入原方程：  

$$(\lambda- \sqrt{a})^3 - 20(\lambda- \sqrt{a}) + 1 = 0$$

展开整理得：

$$\lambda^3 + 3\lambda a - 20\lambda + 1 + (-3\lambda^2 - a + 20) \sqrt{a} = 0$$

由$a \in \mathbb{N}^*$不是完全平方数，于$\sqrt{a}$必为无理数，则根据$\mathbb{Q}$的封闭性知：

$$\lambda ^3 + 3 \lambda a - 20 \lambda + 1 = 0$$

$$-3 \lambda ^2 - a + 20 = 0$$

由方程二，知$a = 20 - 3 \lambda ^2$。

代入方程一，得：  

$$-8\lambda ^3 + 40 \lambda + 1 = 0$$

由有理根定理知，方程可能的有理根为$\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{4}, \pm\frac{1}{8}$。

下一步是逐一验证，没什么技术含量，这里不再展开。

结果是方程无有理数解，导出矛盾，故假设不成立。

即$r + \sqrt{a} \notin \mathbb{Q}$。

四边形$ABCD$是捡的，啊呸，是圆内接的，

所以$∠BAD+∠BCD~=~180°$

$∠ABC+∠ADC~=~180°$

由于内角和外角平分线互相垂直，所以

$∠BMP=∠BNQ=90°$

考虑以$MP，NQ$为直径的两个圆

圆$Γ₁以MP为直径，则M，P在Γ₁上，且任意点C在Γ₁上满足∠MCP=90°$

圆$Γ₂以NQ为直径，则N，Q在Γ₂上，且任意点E在Γ₂上满足∠NEQ=90°$

由于四边形$ABCD$的对称性，通过万恶的角度计算可证

$点N，Q在Γ₁上，点M，P在Γ₂上$

因此，$Γ₁,Γ₂$为同一圆

即

$\color{cyan}{\large{M，P，N，Q共圆}}$

楼上那位建议画完图再答，字母对应都是错的，思路好像也不对

观察知M，N是垂心，性质导出来后找根轴

有24年TST几何的味道

质子和积分可以考虑~