物理

[论坛资料室]再战阿里数竞：分析赛道P3

$\text{Problem 3}$是阿里数竞少有的初等数学问题，这也是分析赛道每年的特色。

事先声明，能做出来不代表能去参加比赛。阿里数竞是限时的，但我对每个题目都要琢磨几天以上。我在这里讲的再头头是道，也到底是决赛都进不了的。

今天来挑战2024阿里巴巴数学竞赛分析与方程赛道

$\text{Problem 3}$。

先看题：

$\text{Problem 3}$ 假设$M$和$Q$是给定的正常数。定义函数：

$$f(r)=1-\frac{M}{r^2}+\frac{Q}{r^4}-r^2, \quad r\gt 0$$

如果$f$有三个不同的正根$0$小于$r_-$小于$r_+$小于$r_c$，证明：

$$f'(r_+)+f'(r_-)\lt 0$$

这一题没什么高级的，高中题水平，但不乏也是一道好题。$\text{Vieta}$定理的考察本身就有一定难度，而且本题的因式分解难度也不小。

不过有必要提一下的是，这个题目有很浓厚的物理背景。

先来看一下弯曲时空场论&黑洞物理学中的五维$\text{Reissner-Nordström-de Sitter}$黑洞在球坐标下的度规形式：

$$ds^{2}=-f(r)dt^{2}+\frac{1}{f(r)}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta^{2}+\sin^{2}\theta d\varphi^{2}+d\psi^{2}\right)$$

其中，

$$f(r)=1-\frac{2M}{r^{2}}+\frac{Q^{2}}{r^{4}}-\frac{\Lambda}{3}r^{2}$$

非常的相似。

所以该题给出的函数其实是五维$\text{Reissner-Nordström-de Sitter}$黑洞的度规函数，并将$r^2$前的系数$\frac{\Lambda}{3}$简化为$1$（毕竟是个数学题，放宇宙学常数在这里不好）。

不过，$\text{de Sitter}$宇宙模型考虑的$\Lambda$大于$0$，所以有没有这个宇宙学常数也不影响结论。

度规函数的三个根从大到小分别代表黑洞的宇宙视界，外视界和内视界。一般的黑洞都有外视界和内视界，而宇宙视界是$\text{Reissner-Nordström-de Sitter}$黑洞特有的。

度规函数的导数跟$\text{Hawking}$温度有关，所以结论是在说内外视界的$\text{Hawking}$温度之和小于零的。

不过这一方面太专业了，我的知识储备几乎为零，有懂的大佬麻烦解释一下。如果我说错了勿喷。

接下来进入正题。

$\text{Proof}$：由题知$ r_+, r_-, r_c$ 均为方程

$$1 - \frac{M}{r^2} + \frac{Q}{r^4} - r^2 = 0$$

的根。即$r_+, r_-, r_c$满足

$$r^4 - M r^2 + Q - r^6 = 0$$

即$r_+, r_-, r_c$是方程

$$-(r^2)^3 + (r^2)^2 - M r^2 + Q = 0$$

的三个正根。由三次$\text{Vieta}$定理，有

$$r_c^2 + r_+^2 + r_-^2 = 1$$

$$r_c^2 r_+^2 = Q$$

$$(r_c r_+)^2 + (r_c r_-)^2 + (r_+ r_-)^2 = M$$

$f$的导数为：

$$f'(r) = \frac{2M}{r^3} - \frac{4Q}{r^5} - 2r$$

记：

$$T = f'(r_{+}) + f'(r_{-})$$

$$= 2M\left(\frac{1}{r_{+}^{2}} + \frac{1}{r_{-}^{2}}\right) - 4Q\left(\frac{1}{r_{+}^{2}} - \frac{1}{r_{-}^{2}}\right) - 2r_{+} - 2r_{-}$$

代入$\text{Vieta}$定理的结果得：

$$\frac{T}{2} = \frac{1}{2} \sum_{m,n=+,-,c\,; \,k=+,-} \frac{r_m^2 r_n^2}{r_k^2} - \sum_{p=+,-} \frac{2 r_c^2 r_+^2 r_-^2}{r_p^2} - r_+ - r_-$$

$$= \frac{r_c^2}{r_+} + \frac{r_-^2}{r_+} + \frac{r_c^3}{r_-} + \frac{r_+^2}{r_-} - \frac{r_-^2 r_c^2}{r_+^3} - \frac{r_+^2 r_c^2}{r_-^3} - r_+ - r_-$$

则：

$$-\frac{r_+^3 r_-^3}{2} T$$

$$= -(r_+^2 r_-^5 + r_c^2 r_+^2 r_-^3 + r_+^5 r_-^2 + r_c^2 r_+^3 r_-^2 - r_c^2 r_-^5 - r_c^2 r_+^5 - r_+^4 r_-^3 - r_+^3 r_-^4)$$

$$=-\left[ r_c^2 (r_+^2 r_-^3 + r_+^3 r_-^2) + r_+^2 r_-^2 (r_+^3 + r_-^3) - r_c^2 (r_+^5 + r_-^5) - r_+^2 r_-^2 (r_+^2 r_- + r_+ r_-^2) \right]$$

$$= r_c^2 (r_+^5 - r_+^3 r_-^2 - r_+^2 r_-^3 + r_-^5) - r_+^2 r_-^2 (r_+^3 - r_+^2 r_- - r_+ r_-^2 + r_-^3)$$

$$= r_c^2 (r_+^3 - r_-^3)(r_+^2 - r_-^2) - r_+^2 r_-^2 (r_+^2 - r_-^2)(r_+ - r_-)$$

$$= r_c^2 (r_+ - r_-)(r_+^2 - r_+ r_- + r_-^2)(r_+^2 - r_-^2) - r_+^2 r_-^2 (r_+ - r_-)(r_+ - r_-)$$

则：

$$\frac{-r_{+}^{3} r_{-}^{3}}{2(r_{+}^{2}-r_{-}^{2})(r_{+}-r_{-})} T= r_{c}^{2}(r_{+}^{2}-r_{+} r_{-}+r_{-}^{2})-r_{+}^{2} r_{-}^{2}$$

由$r_{c}$大于$r_{+}$，得：

$$r_{c}^{2}(r_{+}^{2}-r_{+} r_{-}+r_{-}^{2})\gt r_{+}^{2}(r_{+}^{2}-r_{+} r_{-}+r_{-}^{2})$$

且有：

$$r_{+}^{2}(r_{+}^{2}-r_{+} r_{-}+r_{-}^{2})-r_{+}^{2} r_{-}^{2}$$

$$=r_{+}^{2}(r_{+}^{2}-r_{+} r_{-}+r_{-}^{2}-r_{-}^{2})$$

$$=r_{+}^{2}(r_{+}^{2}-r_{+} r_{-}+r_{-}^{2}-r_{-}^{2})$$

$$=r_{+}^{2}(r_{+}^{2}-r_{+} r_{-})$$

由$r_{+}$大于$r_{-}$，$r_{+}^{2}$大于$0$，上式显然大于$0$。

则$r_{+}^{2}(r_{+}^{2}-r_{+} r_{-}+r_{-}^{2})-r_{+}^{2} r_{-}^{2}$大于$0$。

则$\frac{-r_{+}^{3} r_{-}^{3}}{2(r_{+}^{2}-r_{-}^{2})(r_{+}-r_{-})}T$大于$0$。

由$r_{+}^{3} r_{-}^{3}$大于$0$，$r_{+}^{2}$大于$r_{-}^{2}$，$r_{+}$大于$r_{-}$，$T$前的因子小于$0$。

所以$T$显然小于$0$。

所以$f'(r_{+}) + f'(r_{-})$小于$0$。

完毕。