物理

[论坛资料室]祥说线代一：我要退出CRY行列式

!你好，这里是丰川祥子

我被迫打工了

1.1二阶与三阶行列式：

我们解二元一次方程和三元一次方程会发现他们的分母相同！

于是我们先来搞搞二元的$ad-bc$

$定义1.1-1 设a_{11} ,a_{12},a_{21},a_{22}是给定的四实数，我们记$

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a{21}$

$为一个二阶行列式，并且称a_{11} ,a_{12},a_{21},a_{22}为该行列式的元素或元$

例题1.1-1计算二阶行列式

$D=\begin{vmatrix}\cos x&-\sin x\\\cos x&\sin x\end{vmatrix}=的值$

解：由定义得：$D=$ $\cos x\cdot \cos x - ( - \sin x) \cdot \sin x = \cos^2 x + \sin^2 x=1$

同理，我们推出三阶行列式的定义

$定义1.1-2设a_{ij}(i,j=1,2,3)为实数，记$

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

为一三阶行列式

但是你不可能背下来，所以在1.2中我们将会学习如何处理

回见

1.2 行列式的定义与性质

但是，如果你面对这一个这个行列式...$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots a_{2n}\\\cdots&\cdots&~&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots a_{nn}\end{vmatrix}=？$阁下如何应对内

很简单（个鬼(^^♪)

这里让我们对行列式做另外一定义

在之前，我们需要引入一个概念---逆序和

定义1.2-1：$由1，2,\cdots ，n组成的一个有序数组称为n级排列$

$此时，在一个n级排列p_1p_2\cdots p_n中，若一个较大的数在一个较小的数之前，就称这两个元素构成逆序$

$对于元素p_i，若比p_i大的且在p_i前面的元素有k个，那么称p_i这个元素的逆序数是k$

$在排列p_1p_2\cdots p_n中，所有元素的逆序数之和记作这个排列的逆序和，记为：τ（p_1p_2\cdots p_n)$

看不懂？想说为什么要演奏逆序和？

祥子姐姐来助你(^^♪

例题1-2.1求排列54321的逆序数

解：我们可以发现5在首位，所以5的逆序数为0，4前比4大的数有一个（5）故4的逆序数为1，3前比3大的数有两个（5，4）故三的逆序数为2,以此类推，计算得

$τ（54321)=0+1+2+3+4=10$

这时，我们就可以正式的端出行列式的定义了

$定理1.2-2设有n^2个实数，则我们定义n阶行列式为$

$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&~&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum (-1)^{τ(q_1q_2\cdots q_n)}a_{1q1}a_{2q2}\cdots a_{nqn}$

$其中\sum 表示对自然数1,2,\cdots,n的所有排列q_1q_2\cdots q_n的求和$

但此时祥子姐姐和大家讲讲一个需要注意到的地方

$当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意它不是a的绝对值，需要时要记得说明。$

好的，那么我们来看看n阶行列式的简单性质罢❤(ӦｖӦ｡)

$定理1.2-3 n阶行列式具有如下简单性质$

$1.每一项都是不同行与列之间元素的乘积，也就是说每一项都包含了每一行的一元素和每一列的一元素$

$2.根据逆序数添加正负号$

$3.n阶行列式共有n!项，其中正负各一半$

还有一个简单的性质我们通过做题来理解(・・;)

$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\114514&114&514&362880\\0&0&0&0\\7&0&2&1\end{vmatrix}$

解析：算得下去的你也是可以被喵梦骂抖M的存在，但是我们换个思路想：行列式中的任何一项都必须在每一行和列中取一个元素，结果这里碰巧有个0，所以我们想想可以得到简单性质4

$4.若行列式中有一项为0，那么行列式为0$

同时我们也可以看看对n阶行列式其他的定义

$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&~&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum (-1)^{τ(p_1p_2\cdots p_n)τ(q_1q_2\cdots q_n)}a_{p_1q_1}a_{p_2q_2}\cdots a_{p_nq_n}$

同理我们还可以在推出一种，但是祥是临时工来的，懒得打字了(・・;)但是他们都满足我们的4个定义。