数学

求大佬帮忙

$1. 情况 1：存在 n 个整数的余数为 0$

  $ 如果有  n  个整数的余数为 0，那么这 n 个整数本身就是 n 的倍数，trivial！$

$2. 情况 2：不存在  n 个整数的余数为 0$

  $ 考虑余数为 1, 2, \ldots, n-1 的整数。选择适当的整数s.t.它们的和为 n  的倍数。$

  $ 情况 2.1：存在某个余数出现至少 n 次$

  $   如果某个余数 r 出现了至少  n 次，那么这  n 个余数为  r 的整数的和为 nr ，显然是  n 的倍数。$

  $ 情况 2.2：每个余数出现次数小于  n次$

    $ 可组合不同的余数来找到  n \个整数：将 (2n-1)个整数的余数分为 (n-1)组，每组包含两个互为补数的余数$

$（即 (1, n-1), (2, n-2), \ldots, (\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor, n- \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor) \) ）$$和一个余数为 0（如果存在）。$

$根据抽屉原理，至少有一组包含至少两个元素，或者有 \( n \) 个元素的余数为 0（这种情况已经在情况 1 中讨论）。$

$通过适当选择，可以找到n个整数，s.t.它们的和为n的倍数。$

$综上，成立$